三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$ のとき、3辺の長さ $a : b : c$ は次のうちどれか。選択肢は $6:5:4$, $4:5:6$, $5:4:6$。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$ のとき、3辺の長さ $a : b : c$ は次のうちどれか。選択肢は $6:5:4$, $4:5:6$, $5:4:6$。

2. 解き方の手順

正弦定理より、三角形ABCにおいて

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

が成り立つ ($R$ は外接円の半径)。

したがって、

$a = 2R \sin A$, $b = 2R \sin B$, $c = 2R \sin C$

なので、

$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$

が成り立つ。問題文より、$\sin A : \sin B : \sin C = 4:5:6$ であるから、

$a : b : c = 4 : 5 : 6$

3. 最終的な答え

4:5:6