パラメータ表示された点の軌跡を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。 (1) $x = 3 + 4t$, $y = -2 + 3t$ (2) $x = 2t - 1$, $y = t^2 - t - 3$ (3) $x = \sqrt{t}$, $y = \sqrt{1 - t}$

1. 問題の内容

パラメータ表示された点の軌跡を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。

(1) $x = 3 + 4t$, $y = -2 + 3t$

(2) $x = 2t - 1$, $y = t^2 - t - 3$

(3) $x = \sqrt{t}$, $y = \sqrt{1 - t}$

2. 解き方の手順

各問題について、パラメータ$t$を消去し、$x$と$y$の関係式を求めます。

(1)

$x = 3 + 4t$より、

$t = \frac{x - 3}{4}$

これを$y = -2 + 3t$に代入すると、

$y = -2 + 3(\frac{x - 3}{4})$

$y = -2 + \frac{3}{4}x - \frac{9}{4}$

$y = \frac{3}{4}x - \frac{17}{4}$

よって、$4y = 3x - 17$, つまり$3x - 4y - 17 = 0$

(2)

$x = 2t - 1$より、

$t = \frac{x + 1}{2}$

これを$y = t^2 - t - 3$に代入すると、

$y = (\frac{x + 1}{2})^2 - (\frac{x + 1}{2}) - 3$

$y = \frac{x^2 + 2x + 1}{4} - \frac{x + 1}{2} - 3$

$y = \frac{x^2 + 2x + 1 - 2x - 2 - 12}{4}$

$y = \frac{x^2 - 13}{4}$

よって、$4y = x^2 - 13$, つまり$x^2 = 4y + 13$

(3)

$x = \sqrt{t}$より、$t = x^2$

$y = \sqrt{1 - t}$より、$y = \sqrt{1 - x^2}$

$y^2 = 1 - x^2$

$x^2 + y^2 = 1$

ここで、$x = \sqrt{t} \geq 0$かつ$y = \sqrt{1 - t} \geq 0$であるため、円全体ではなく、第一象限の部分のみとなります。

3. 最終的な答え

(1) $3x - 4y - 17 = 0$

(2) $x^2 = 4y + 13$

(3) $x^2 + y^2 = 1$, $x \geq 0$, $y \geq 0$