問題は、2点A,B間の距離、線分ABを2:1に内分する点と外分する点の座標、直線$l$と点Aが与えられたときに、点Aを通り$l$に平行な直線の方程式、点Aを通り$l$に垂直な直線の方程式、点Aと直線$l$の距離を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、2点A,B間の距離、線分ABを2:1に内分する点と外分する点の座標、直線$l$と点Aが与えられたときに、点Aを通り$l$に平行な直線の方程式、点Aを通り$l$に垂直な直線の方程式、点Aと直線$l$の距離を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2点A, B間の距離を求めます。

$AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

(2) 線分ABを2:1に内分する点の座標を求めます。

内分点の座標は $\left(\frac{2\cdot 5 + 1\cdot (-1)}{2+1}, \frac{2\cdot (-2) + 1\cdot 4}{2+1}\right) = \left(\frac{10-1}{3}, \frac{-4+4}{3}\right) = (3, 0)$

(3) 線分ABを2:1に外分する点の座標を求めます。

外分点の座標は $\left(\frac{2\cdot 5 - 1\cdot (-1)}{2-1}, \frac{2\cdot (-2) - 1\cdot 4}{2-1}\right) = \left(\frac{10+1}{1}, \frac{-4-4}{1}\right) = (11, -8)$

(4) 点A(-1, 2)を通り直線$l: 3x - 4y + 6 = 0$に平行な直線の方程式を求めます。

平行な直線の傾きは同じなので、$3x - 4y + k = 0$に$A(-1, 2)$を代入すると、

$3(-1) - 4(2) + k = 0$

$-3 - 8 + k = 0$

$k = 11$

したがって、$3x - 4y + 11 = 0$

(5) 点A(-1, 2)を通り直線$l: 3x - 4y + 6 = 0$に垂直な直線の方程式を求めます。

$l$の傾きは$\frac{3}{4}$なので、垂直な直線の傾きは$-\frac{4}{3}$です。

$y - 2 = -\frac{4}{3}(x - (-1))$

$y - 2 = -\frac{4}{3}x - \frac{4}{3}$

$3y - 6 = -4x - 4$

$4x + 3y - 2 = 0$

(6) 点A(-1, 2)と直線$l: 3x - 4y + 6 = 0$の距離を求めます。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|3(-1) - 4(2) + 6|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-3 - 8 + 6|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-5|}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$

3. 最終的な答え

ア: $6\sqrt{2}$

イ: $(3, 0)$

ウ: $(11, -8)$

エ: $3x - 4y + 11 = 0$

オ: $4x + 3y - 2 = 0$

カ: $1$