陸上トラックについて、以下の2つの問いに答える。 (1) 内側から1番目と2番目のレーンをそれぞれ1周走るときの距離を求める。 (2) 2つのレーンを走る距離を同じにするには、スタート地点をどのようにすればよいか答える。ただし、ゴールは同じとする。 トラックの形状は、直線部分と半円部分からなり、レーンの幅は $a$ m である。

1. 問題の内容

陸上トラックについて、以下の2つの問いに答える。

(1) 内側から1番目と2番目のレーンをそれぞれ1周走るときの距離を求める。

(2) 2つのレーンを走る距離を同じにするには、スタート地点をどのようにすればよいか答える。ただし、ゴールは同じとする。

トラックの形状は、直線部分と半円部分からなり、レーンの幅は $a$ m である。

2. 解き方の手順

(1) 1番目のレーンの距離を求める。

直線部分の長さを $x$ 、半円部分の半径を $r$ とする。

1番目のレーンの1周の距離 $L_1$ は、

$L_1 = 2x + 2\pi r$

2番目のレーンの距離を求める。

2番目のレーンの半径は $r + a$ となる。

2番目のレーンの1周の距離 $L_2$ は、

$L_2 = 2x + 2\pi (r + a)$

$L_2 = 2x + 2\pi r + 2\pi a$

(2) 2つのレーンを走る距離を同じにする方法を考える。

2つのレーンの距離の差は、

$L_2 - L_1 = 2\pi a$

したがって、2番目のレーンのスタート地点を、1番目のレーンよりも $2\pi a$ だけ前に出れば、2つのレーンを走る距離は同じになる。

3. 最終的な答え

(1) 1番目のレーンの1周の距離: $2x + 2\pi r$

2番目のレーンの1周の距離: $2x + 2\pi r + 2\pi a$

(2) 2番目のレーンのスタート地点を、1番目のレーンよりも $2\pi a$ だけ前に出す。