画像に書かれている問題は「外分点の公式はどのように導きますか？」です。

1. 問題の内容

画像に書かれている問題は「外分点の公式はどのように導きますか？」です。

2. 解き方の手順

線分ABをm:nに外分する点Pの位置ベクトルを求めます。

* 点Aの位置ベクトルを$\vec{a}$、点Bの位置ベクトルを$\vec{b}$、点Pの位置ベクトルを$\vec{p}$とします。

* 点Pは線分ABをm:nに外分するので、AP:BP = m:n です。

* ベクトルで表すと、$\vec{AP} = \frac{m}{n} \vec{BP}$となります。

* 位置ベクトルを使って書き換えると、$\vec{p} - \vec{a} = \frac{m}{n} (\vec{p} - \vec{b})$となります。

* この式を$\vec{p}$について解きます。

$n(\vec{p} - \vec{a}) = m(\vec{p} - \vec{b})$

$n\vec{p} - n\vec{a} = m\vec{p} - m\vec{b}$

$n\vec{p} - m\vec{p} = n\vec{a} - m\vec{b}$

$(n-m)\vec{p} = n\vec{a} - m\vec{b}$

$\vec{p} = \frac{n\vec{a} - m\vec{b}}{n-m}$

外分比をm:nで表すとき、公式では一般的に -m:nのようにマイナスをつけることで内分として扱えるようにしています。

したがって、$m$ を $-m$ に置き換えると、

$\vec{p} = \frac{n\vec{a} - (-m)\vec{b}}{n-(-m)}$

$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{n+m}$

この時、$n + m \neq 0$ となります。

同様に考えて$n$を$-n$に置き換えた場合は、

$\vec{p} = \frac{-n\vec{a} - m\vec{b}}{-n-m}$

$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{n+m}$

となり、内分点の公式と一致します。

一般的に外分点の公式として用いられるのは、$\vec{p} = \frac{-m\vec{b} + n\vec{a}}{-m+n}$もしくは $\vec{p} = \frac{n\vec{a} - m\vec{b}}{n-m}$です。

3. 最終的な答え

外分点の公式は以下のように導出できます。

$\vec{p} = \frac{n\vec{a} - m\vec{b}}{n-m}$