2直線 $y=2x$ と $y=mx$ のなす角が $\frac{\pi}{3}$ のとき、定数 $m$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2直線 $y=2x$ と $y=mx$ のなす角が $\frac{\pi}{3}$ のとき、定数 $m$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

2直線のなす角 $\theta$ とそれぞれの直線の傾き $m_1, m_2$ の間には、以下の関係式が成り立ちます。

$\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right|$

この問題では、$m_1 = 2$, $m_2 = m$, $\theta = \frac{\pi}{3}$ であるので、$\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ を代入して、

$\sqrt{3} = \left|\frac{2 - m}{1 + 2m}\right|$

絶対値を外すと、

$\frac{2 - m}{1 + 2m} = \pm\sqrt{3}$

それぞれの場合について $m$ を解きます。

(i) $\frac{2 - m}{1 + 2m} = \sqrt{3}$ のとき

$2 - m = \sqrt{3}(1 + 2m)$

$2 - m = \sqrt{3} + 2\sqrt{3}m$

$m + 2\sqrt{3}m = 2 - \sqrt{3}$

$(1 + 2\sqrt{3})m = 2 - \sqrt{3}$

$m = \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}$

$m = \frac{(2 - \sqrt{3})(1 - 2\sqrt{3})}{(1 + 2\sqrt{3})(1 - 2\sqrt{3})} = \frac{2 - 4\sqrt{3} - \sqrt{3} + 6}{1 - 12} = \frac{8 - 5\sqrt{3}}{-11} = \frac{-8 + 5\sqrt{3}}{11}$

(ii) $\frac{2 - m}{1 + 2m} = -\sqrt{3}$ のとき

$2 - m = -\sqrt{3}(1 + 2m)$

$2 - m = -\sqrt{3} - 2\sqrt{3}m$

$m - 2\sqrt{3}m = 2 + \sqrt{3}$

$(1 - 2\sqrt{3})m = 2 + \sqrt{3}$

$m = \frac{2 + \sqrt{3}}{1 - 2\sqrt{3}}$

$m = \frac{(2 + \sqrt{3})(1 + 2\sqrt{3})}{(1 - 2\sqrt{3})(1 + 2\sqrt{3})} = \frac{2 + 4\sqrt{3} + \sqrt{3} + 6}{1 - 12} = \frac{8 + 5\sqrt{3}}{-11} = \frac{-8 - 5\sqrt{3}}{11}$

3. 最終的な答え

$m = \frac{-8 + 5\sqrt{3}}{11}, \frac{-8 - 5\sqrt{3}}{11}$