底面の半径が $a$ cm, 高さが $b$ cm の円柱Aがある。円柱Aの底面の半径を $r$ 倍にし、高さを $\frac{1}{r}$ 倍にした円柱Bを作るとき、円柱Bの体積は、円柱Aの体積の何倍になるか。

1. 問題の内容

底面の半径が $a$ cm, 高さが $b$ cm の円柱Aがある。円柱Aの底面の半径を $r$ 倍にし、高さを $\frac{1}{r}$ 倍にした円柱Bを作るとき、円柱Bの体積は、円柱Aの体積の何倍になるか。

2. 解き方の手順

まず、円柱Aの体積を求めます。円柱の体積は、底面積×高さで求められます。円柱Aの底面積は $\pi a^2$ ですので、体積は、

$V_A = \pi a^2 b$

次に、円柱Bの体積を求めます。円柱Bの底面の半径は $ra$ cm、高さは $\frac{1}{r}b$ cmです。円柱Bの底面積は $\pi (ra)^2 = \pi r^2 a^2$ですので、体積は、

$V_B = \pi (ra)^2 (\frac{1}{r}b) = \pi r^2 a^2 \frac{1}{r}b = \pi r a^2 b$

最後に、円柱Bの体積が円柱Aの体積の何倍になるかを求めます。これは $V_B$ を $V_A$ で割ることで計算できます。

$\frac{V_B}{V_A} = \frac{\pi r a^2 b}{\pi a^2 b} = r$

3. 最終的な答え

$r$ 倍