円 $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0$ の接線で、直線 $y = -\frac{1}{2}x$ に垂直なものを求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0$ の接線で、直線 $y = -\frac{1}{2}x$ に垂直なものを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円の方程式を標準形に変形します。

$x^2 + 2x + y^2 + 4y - 4 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) - 1 - 4 - 4 = 0$

$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$

したがって、円の中心は $(-1, -2)$ で、半径は $r = 3$ です。

次に、直線 $y = -\frac{1}{2}x$ に垂直な直線の傾きを求めます。

垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数の符号を反転させたものです。

元の直線の傾きは $-\frac{1}{2}$ なので、垂直な直線の傾きは $m = 2$ となります。

したがって、求める接線の方程式は $y = 2x + b$ と表せます。

円 $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$ と直線 $y = 2x + b$ が接するための条件は、円の中心 $(-1, -2)$ から直線 $2x - y + b = 0$ までの距離が半径 $3$ に等しいことです。点と直線の距離の公式を使うと、

$\frac{|2(-1) - (-2) + b|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 3$

$\frac{|-2 + 2 + b|}{\sqrt{5}} = 3$

$\frac{|b|}{\sqrt{5}} = 3$

$|b| = 3\sqrt{5}$

よって、$b = \pm 3\sqrt{5}$ となります。

したがって、求める接線の方程式は $y = 2x \pm 3\sqrt{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$y = 2x + 3\sqrt{5}$

$y = 2x - 3\sqrt{5}$