(1) 点 $(3,2)$ を原点の周りに $15^\circ$ 回転させた点の座標を求めよ。 (2) 点 $(1,4)$ を1つの頂点とし、原点が対角線の交点であるような正六角形の残りの5頂点を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 点 $(3,2)$ を原点の周りに $15^\circ$ 回転させた点の座標を求めよ。

(2) 点 $(1,4)$ を1つの頂点とし、原点が対角線の交点であるような正六角形の残りの5頂点を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(3,2)$ を原点の周りに $15^\circ$ 回転させる。回転行列を使用する。

回転行列 $R$ は、

$R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

ここで、$\theta = 15^\circ$ である。

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

回転後の座標 $(x', y')$ は、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 15^\circ & -\sin 15^\circ \\ \sin 15^\circ & \cos 15^\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} & -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

$x' = 3 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{6} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + 5\sqrt{2}}{4}$

$y' = 3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + 2 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{5\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) 原点が正六角形の対角線の交点であるため、各頂点は原点に対して点対称の位置にある。

点 $(1,4)$ の対称点の座標は $(-1, -4)$ である。

正六角形の各頂点は、中心角 $60^\circ$ ずつ回転した位置にある。

点 $(1,4)$ を $60^\circ$ 回転させた点の座標を求める。

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1 - 4\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3} + 4}{2} \end{pmatrix}$

これを繰り返すことで残りの点を求めることができる。

3. 最終的な答え

(1) 回転後の点の座標: $(\frac{\sqrt{6} + 5\sqrt{2}}{4}, \frac{5\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

(2) 残りの5頂点:

$(-1, -4), (\frac{1 - 4\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3} + 4}{2}), (\frac{-5 - 2\sqrt{3}}{2}, \frac{4 - \sqrt{3}}{2}), (-(\frac{1 - 4\sqrt{3}}{2}), -(\frac{\sqrt{3} + 4}{2})), (-(\frac{-5 - 2\sqrt{3}}{2}), -(\frac{4 - \sqrt{3}}{2}))$

簡略化すると、

$(-1, -4), (\frac{1 - 4\sqrt{3}}{2}, \frac{4 + \sqrt{3}}{2}), (\frac{-5 - 2\sqrt{3}}{2}, \frac{4 - \sqrt{3}}{2}), (\frac{-1 + 4\sqrt{3}}{2}, \frac{-4 - \sqrt{3}}{2}), (\frac{5 + 2\sqrt{3}}{2}, \frac{-4 + \sqrt{3}}{2})$