円 $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0$ の接線で、直線 $y = -\frac{1}{2}x$ に垂直なものの接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0$ の接線で、直線 $y = -\frac{1}{2}x$ に垂直なものの接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式を標準形に変形する。

$x^2 + 2x + y^2 + 4y - 4 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) - 1 - 4 - 4 = 0$

$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$

これは中心が $(-1, -2)$、半径が $3$ の円を表す。

直線 $y = -\frac{1}{2}x$ に垂直な直線の傾きは $2$ である。

よって、求める接線の方程式は $y = 2x + k$ とおける。

この直線を円の中心からの距離が半径に等しいという条件から $k$ を求める。

円の中心 $(-1, -2)$ と直線 $y = 2x + k$ すなわち $2x - y + k = 0$ との距離は、

$\frac{|2(-1) - (-2) + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2 + 2 + k|}{\sqrt{5}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$

これが半径 $3$ に等しいから、

$\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 3$

$|k| = 3\sqrt{5}$

$k = \pm 3\sqrt{5}$

よって、接線の方程式は $y = 2x \pm 3\sqrt{5}$

すなわち $2x - y \pm 3\sqrt{5} = 0$ である。

次に接点の座標を求める。

$2x - y + 3\sqrt{5} = 0$ と $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$ を連立する。

$y = 2x + 3\sqrt{5}$ を代入して、

$(x + 1)^2 + (2x + 3\sqrt{5} + 2)^2 = 9$

$x^2 + 2x + 1 + (2x + 2 + 3\sqrt{5})^2 = 9$

$x^2 + 2x + 1 + 4x^2 + 4(2 + 3\sqrt{5})x + (2 + 3\sqrt{5})^2 = 9$

$5x^2 + (2 + 8 + 12\sqrt{5})x + 1 + 4 + 12\sqrt{5} + 45 = 9$

$5x^2 + (10 + 12\sqrt{5})x + 41 + 12\sqrt{5} = 0$

判別式 $D = (10 + 12\sqrt{5})^2 - 4(5)(41 + 12\sqrt{5}) = 100 + 240\sqrt{5} + 720 - 820 - 240\sqrt{5} = 0$

よって、重解 $x = -\frac{10 + 12\sqrt{5}}{2(5)} = -\frac{5 + 6\sqrt{5}}{5}$

$y = 2(-\frac{5 + 6\sqrt{5}}{5}) + 3\sqrt{5} = \frac{-10 - 12\sqrt{5} + 15\sqrt{5}}{5} = \frac{-10 + 3\sqrt{5}}{5}$

よって、接点は $(-\frac{5 + 6\sqrt{5}}{5}, \frac{-10 + 3\sqrt{5}}{5})$

$2x - y - 3\sqrt{5} = 0$ と $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$ を連立する。

$y = 2x - 3\sqrt{5}$ を代入して、

$(x + 1)^2 + (2x - 3\sqrt{5} + 2)^2 = 9$

$x^2 + 2x + 1 + (2x + 2 - 3\sqrt{5})^2 = 9$

$x^2 + 2x + 1 + 4x^2 + 4(2 - 3\sqrt{5})x + (2 - 3\sqrt{5})^2 = 9$

$5x^2 + (2 + 8 - 12\sqrt{5})x + 1 + 4 - 12\sqrt{5} + 45 = 9$

$5x^2 + (10 - 12\sqrt{5})x + 41 - 12\sqrt{5} = 0$

判別式 $D = (10 - 12\sqrt{5})^2 - 4(5)(41 - 12\sqrt{5}) = 100 - 240\sqrt{5} + 720 - 820 + 240\sqrt{5} = 0$

よって、重解 $x = -\frac{10 - 12\sqrt{5}}{2(5)} = -\frac{5 - 6\sqrt{5}}{5}$

$y = 2(-\frac{5 - 6\sqrt{5}}{5}) - 3\sqrt{5} = \frac{-10 + 12\sqrt{5} - 15\sqrt{5}}{5} = \frac{-10 - 3\sqrt{5}}{5}$

よって、接点は $(-\frac{5 - 6\sqrt{5}}{5}, \frac{-10 - 3\sqrt{5}}{5})$

3. 最終的な答え

接線の方程式：$y = 2x + 3\sqrt{5}$ のとき、接点の座標は $(-\frac{5 + 6\sqrt{5}}{5}, \frac{-10 + 3\sqrt{5}}{5})$

接線の方程式：$y = 2x - 3\sqrt{5}$ のとき、接点の座標は $(-\frac{5 - 6\sqrt{5}}{5}, \frac{-10 - 3\sqrt{5}}{5})$