一辺の長さが4の正四面体OABCに球が内接している。 (1) 三角形OABの面積 $S_1$ を求める。 (2) 正四面体OABCの体積 $V_1$ を求める。 (3) 内接球の半径 $r$ を求める。 (4) 内接球の表面積 $S_2$ 、体積 $V_2$ を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが4の正四面体OABCに球が内接している。

(1) 三角形OABの面積 $S_1$ を求める。

(2) 正四面体OABCの体積 $V_1$ を求める。

(3) 内接球の半径 $r$ を求める。

(4) 内接球の表面積 $S_2$ 、体積 $V_2$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle OAB$ は正三角形なので、面積 $S_1$ は、

$S_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \sin{60^\circ}$

$S_1 = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S_1 = 4\sqrt{3}$

(2) 正四面体OABCの体積 $V_1$ を求める。

正四面体の高さ $h$ を求める。

底面の正三角形OABの中心をHとすると、AHは正三角形OABの外接円の半径に等しく、

$AH = \frac{4}{\sqrt{3}}$

$\triangle OAH$ は直角三角形なので、三平方の定理より、

$OH^2 + AH^2 = OA^2$

$h^2 + (\frac{4}{\sqrt{3}})^2 = 4^2$

$h^2 + \frac{16}{3} = 16$

$h^2 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

$h = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

したがって、正四面体OABCの体積 $V_1$ は、

$V_1 = \frac{1}{3} \times S_1 \times h = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \times \frac{4\sqrt{6}}{3}$

$V_1 = \frac{16\sqrt{18}}{9} = \frac{16 \times 3\sqrt{2}}{9} = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

(3) 内接球の半径 $r$ を求める。

正四面体の体積 $V_1$ は、4つの合同な四面体（底面が正四面体の各面で、高さが内接球の半径 $r$ ）の体積の和に等しい。

$V_1 = 4 \times (\frac{1}{3} \times S_1 \times r)$

$\frac{16\sqrt{2}}{3} = 4 \times (\frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \times r)$

$\frac{16\sqrt{2}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3} r$

$r = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(4) 内接球の表面積 $S_2$ 、体積 $V_2$ を求める。

内接球の表面積 $S_2$ は、

$S_2 = 4\pi r^2 = 4\pi (\frac{\sqrt{6}}{3})^2 = 4\pi \times \frac{6}{9} = \frac{8\pi}{3}$

内接球の体積 $V_2$ は、

$V_2 = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{\sqrt{6}}{3})^3 = \frac{4}{3} \pi \times \frac{6\sqrt{6}}{27} = \frac{24\sqrt{6}\pi}{81} = \frac{8\sqrt{6}\pi}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 4\sqrt{3}$

(2) $V_1 = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

(3) $r = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(4) $S_2 = \frac{8\pi}{3}$, $V_2 = \frac{8\sqrt{6}\pi}{27}$