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一辺の長さが1の正四面体OABCがあり、辺OA, AB, BCを$p:(1-p)$で内分する点をそれぞれL, M, Nとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とする。 (1) ベクトル$\vec{ML}$, $\vec{MN}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$および$p$を用いて表し、内積$\vec{ML} \cdot \vec{MN}$を$p$を用いて表す。 (2) ベクトル$\vec{LN}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$および$p$を用いて表し、$\left| \vec{LN} \right|$を$p$を用いて表す。 (3) $\left| \vec{LN} \right|$を最小にする$p$の値を求め、そのときの三角形LMNの面積を求める。

幾何学ベクトル内積空間図形正四面体面積
2025/5/19

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCがあり、辺OA, AB, BCをp:(1−p)p:(1-p)で内分する点をそれぞれL, M, Nとする。OA⃗=a⃗\vec{OA} = \vec{a}, OB⃗=b⃗\vec{OB} = \vec{b}, OC⃗=c⃗\vec{OC} = \vec{c}とする。
(1) ベクトルML⃗\vec{ML}, MN⃗\vec{MN}をa⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}およびppを用いて表し、内積ML⃗⋅MN⃗\vec{ML} \cdot \vec{MN}をppを用いて表す。
(2) ベクトルLN⃗\vec{LN}をa⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}およびppを用いて表し、∣LN⃗∣\left| \vec{LN} \right|をppを用いて表す。
(3) ∣LN⃗∣\left| \vec{LN} \right|を最小にするppの値を求め、そのときの三角形LMNの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)
まず、OL⃗=pa⃗\vec{OL} = p \vec{a}, OM⃗=(1−p)OA⃗+pOB⃗=(1−p)a⃗+pb⃗\vec{OM} = (1-p) \vec{OA} + p \vec{OB} = (1-p) \vec{a} + p \vec{b}, ON⃗=(1−p)OB⃗+pOC⃗=(1−p)b⃗+pc⃗\vec{ON} = (1-p) \vec{OB} + p \vec{OC} = (1-p) \vec{b} + p \vec{c}となる。
ML⃗=OL⃗−OM⃗=pa⃗−(1−p)a⃗−pb⃗=(2p−1)a⃗−pb⃗\vec{ML} = \vec{OL} - \vec{OM} = p \vec{a} - (1-p) \vec{a} - p \vec{b} = (2p-1) \vec{a} - p \vec{b}
MN⃗=ON⃗−OM⃗=(1−p)b⃗+pc⃗−(1−p)a⃗−pb⃗=−(1−p)a⃗+(1−2p)b⃗+pc⃗\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = (1-p) \vec{b} + p \vec{c} - (1-p) \vec{a} - p \vec{b} = - (1-p) \vec{a} + (1-2p) \vec{b} + p \vec{c}
正四面体OABCの一辺の長さは1であるので、
∣a⃗∣=∣b⃗∣=∣c⃗∣=1\left| \vec{a} \right| = \left| \vec{b} \right| = \left| \vec{c} \right| = 1
a⃗⋅b⃗=b⃗⋅c⃗=c⃗⋅a⃗=12\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = \frac{1}{2}
ML⃗⋅MN⃗=((2p−1)a⃗−pb⃗)⋅(−(1−p)a⃗+(1−2p)b⃗+pc⃗)\vec{ML} \cdot \vec{MN} = ((2p-1) \vec{a} - p \vec{b}) \cdot (- (1-p) \vec{a} + (1-2p) \vec{b} + p \vec{c})
=(2p−1)(−1+p)∣a⃗∣2+(2p−1)(1−2p)(a⃗⋅b⃗)+(2p−1)p(a⃗⋅c⃗)−p(−1+p)(b⃗⋅a⃗)−p(1−2p)∣b⃗∣2−p2(b⃗⋅c⃗)= (2p-1)(-1+p) \left| \vec{a} \right|^2 + (2p-1)(1-2p) (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (2p-1) p (\vec{a} \cdot \vec{c}) - p(-1+p)(\vec{b} \cdot \vec{a}) - p(1-2p) \left| \vec{b} \right|^2 - p^2 (\vec{b} \cdot \vec{c})
=(2p−1)(−1+p)+12(2p−1)(1−2p)+12(2p−1)p−12p(−1+p)−p(1−2p)−12p2= (2p-1)(-1+p) + \frac{1}{2} (2p-1)(1-2p) + \frac{1}{2} (2p-1)p - \frac{1}{2} p(-1+p) - p(1-2p) - \frac{1}{2} p^2
=−2p+2p2+1−p+12(2p−4p2−1+2p)+p2−12p−12p2+12p−p+2p2−12p2= -2p+2p^2+1-p + \frac{1}{2} (2p - 4p^2 - 1 + 2p) + p^2 - \frac{1}{2}p -\frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}p - p+2p^2 - \frac{1}{2} p^2
=−3p+2p2+1+2p2−2p+12−2p2+p2−p+2p2−12p2=52p2−4p+12= -3p + 2p^2 + 1 + 2p^2 - 2p + \frac{1}{2} - 2p^2 + p^2 - p + 2p^2 - \frac{1}{2}p^2 = \frac{5}{2} p^2 - 4p + \frac{1}{2}
ML⃗⋅MN⃗=52p2−4p+12\vec{ML} \cdot \vec{MN} = \frac{5}{2} p^2 - 4p + \frac{1}{2}
(2)
LN⃗=ON⃗−OL⃗=(1−p)b⃗+pc⃗−pa⃗=−pa⃗+(1−p)b⃗+pc⃗\vec{LN} = \vec{ON} - \vec{OL} = (1-p) \vec{b} + p \vec{c} - p \vec{a} = -p \vec{a} + (1-p) \vec{b} + p \vec{c}
∣LN⃗∣2=(−pa⃗+(1−p)b⃗+pc⃗)⋅(−pa⃗+(1−p)b⃗+pc⃗)\left| \vec{LN} \right|^2 = (-p \vec{a} + (1-p) \vec{b} + p \vec{c}) \cdot (-p \vec{a} + (1-p) \vec{b} + p \vec{c})
=p2∣a⃗∣2+(1−p)2∣b⃗∣2+p2∣c⃗∣2−2p(1−p)(a⃗⋅b⃗)−2p2(a⃗⋅c⃗)+2(1−p)p(b⃗⋅c⃗)= p^2 \left| \vec{a} \right|^2 + (1-p)^2 \left| \vec{b} \right|^2 + p^2 \left| \vec{c} \right|^2 - 2p(1-p) (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2p^2 (\vec{a} \cdot \vec{c}) + 2(1-p)p (\vec{b} \cdot \vec{c})
=p2+(1−p)2+p2−p(1−p)−p2+p(1−p)=p2+1−2p+p2+p2−p+p2−p2+p−p2= p^2 + (1-p)^2 + p^2 - p(1-p) - p^2 + p(1-p) = p^2 + 1 - 2p + p^2 + p^2 - p + p^2 - p^2 + p - p^2
=2p2−2p+1= 2p^2 - 2p + 1
∣LN⃗∣=2p2−2p+1\left| \vec{LN} \right| = \sqrt{2p^2 - 2p + 1}
(3)
∣LN⃗∣2=2p2−2p+1=2(p2−p)+1=2(p−12)2−12+1=2(p−12)2+12\left| \vec{LN} \right|^2 = 2p^2 - 2p + 1 = 2(p^2 - p) + 1 = 2(p - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = 2(p-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}
∣LN⃗∣2\left| \vec{LN} \right|^2はp=12p = \frac{1}{2}のとき最小値12\frac{1}{2}をとる。
よって、∣LN⃗∣\left| \vec{LN} \right|はp=12p = \frac{1}{2}のとき最小値22\frac{\sqrt{2}}{2}をとる。
p=12p = \frac{1}{2}のとき、
ML⃗=0a⃗−12b⃗=−12b⃗\vec{ML} = 0 \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} = -\frac{1}{2} \vec{b}
MN⃗=−12a⃗−0b⃗+12c⃗=−12a⃗+12c⃗\vec{MN} = - \frac{1}{2} \vec{a} - 0 \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} = -\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}
LN⃗=−12a⃗+12b⃗+12c⃗\vec{LN} = -\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}
∣ML⃗∣=12\left| \vec{ML} \right| = \frac{1}{2}
∣MN⃗∣2=14+14−2(12)2(0)=12\left| \vec{MN} \right|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 2 (\frac{1}{2})^2 (0) = \frac{1}{2}より、∣MN⃗∣=22\left| \vec{MN} \right| = \frac{\sqrt{2}}{2}
ML⃗⋅MN⃗=52(14)−4(12)+12=58−2+12=58−128=−78\vec{ML} \cdot \vec{MN} = \frac{5}{2} (\frac{1}{4}) - 4(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} - 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} - \frac{12}{8} = - \frac{7}{8}
S=12∣ML⃗∣2∣MN⃗∣2−(ML⃗⋅MN⃗)2S = \frac{1}{2} \sqrt{\left| \vec{ML} \right|^2 \left| \vec{MN} \right|^2 - (\vec{ML} \cdot \vec{MN})^2}
=121412−(−78)2=1218−4964=12864−4964=12−4164= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{4} \frac{1}{2} - (\frac{-7}{8})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{8} - \frac{49}{64}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{8}{64} - \frac{49}{64}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{-41}{64}}
計算が間違っている。
ML⃗=(2p−1)a⃗−pb⃗=−12b⃗\vec{ML} = (2p-1)\vec{a} - p\vec{b} = -\frac{1}{2} \vec{b}
MN⃗=−(1−p)a⃗+(1−2p)b⃗+pc⃗=−12a⃗+12c⃗\vec{MN} = -(1-p)\vec{a} + (1-2p)\vec{b} + p\vec{c} = -\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}
NM⃗=12a⃗−12c⃗\vec{NM} = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{c}
LM⃗=−ML⃗=12b⃗\vec{LM} = -\vec{ML} = \frac{1}{2} \vec{b}
LN⃗=−pa⃗+(1−p)b⃗+pc⃗=−12a⃗+12b⃗+12c⃗\vec{LN} = -p\vec{a} + (1-p)\vec{b} + p\vec{c} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}
LM⃗×LN⃗=14b⃗×(−a⃗+b⃗+c⃗)=14(−b⃗×a⃗+b⃗×c⃗)=14(a⃗×b⃗+b⃗×c⃗)\vec{LM} \times \vec{LN} = \frac{1}{4} \vec{b} \times (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{4} (-\vec{b}\times\vec{a} + \vec{b}\times\vec{c}) = \frac{1}{4} (\vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c})
SLMN=12∣LM⃗×LN⃗∣=18∣a⃗×b⃗+b⃗×c⃗∣S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| \vec{LM} \times \vec{LN} \right| = \frac{1}{8} \left| \vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} \right|
正四面体の各面の面積は34\frac{\sqrt{3}}{4}
a⃗×b⃗=32n1⃗\vec{a} \times \vec{b} = \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{n_1}
b⃗×c⃗=32n2⃗\vec{b} \times \vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{n_2}
∣LN∣=2(12)2−212+1=12−1+1=22|LN| = \sqrt{2 (\frac{1}{2})^2 - 2 \frac{1}{2} + 1} = \sqrt{ \frac{1}{2} - 1 + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}
L, NはそれぞれOA, BCの中点となるから、LM = MN = NL
ML⃗⋅MN⃗=52(14)−4(12)+12=58−84+12=5−16+48=−78=12∣ML∣∣MN∣cos(θ)=12(22)2cos(θ)=14cos(θ)\vec{ML} \cdot \vec{MN} = \frac{5}{2} (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} - \frac{8}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5 - 16 + 4}{8} = -\frac{7}{8} = \frac{1}{2}\left|ML\right|\left|MN\right| cos(\theta) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 cos(\theta) = \frac{1}{4} cos(\theta)
三角形LMNは正三角形で、一辺の長さが22\frac{\sqrt{2}}{2}となるため、面積は34(22)2=34⋅24=38\frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}

3. 最終的な答え

(1) ML⃗=(2p−1)a⃗−pb⃗\vec{ML} = (2p-1) \vec{a} - p \vec{b}, MN⃗=−(1−p)a⃗+(1−2p)b⃗+pc⃗\vec{MN} = - (1-p) \vec{a} + (1-2p) \vec{b} + p \vec{c}, ML⃗⋅MN⃗=52p2−4p+12\vec{ML} \cdot \vec{MN} = \frac{5}{2} p^2 - 4p + \frac{1}{2}
(2) LN⃗=−pa⃗+(1−p)b⃗+pc⃗\vec{LN} = -p \vec{a} + (1-p) \vec{b} + p \vec{c}, ∣LN⃗∣=2p2−2p+1\left| \vec{LN} \right| = \sqrt{2p^2 - 2p + 1}
(3) p=12p = \frac{1}{2}, 面積 = 38\frac{\sqrt{3}}{8}

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