平面上の点 $(1,-4)$ を正六角形の1つの頂点とし、原点がその正六角形の対角線の交点であるとき、残りの5つの頂点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

平面上の点 $(1,-4)$ を正六角形の1つの頂点とし、原点がその正六角形の対角線の交点であるとき、残りの5つの頂点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

正六角形の中心が原点Oにあるとき、各頂点は中心Oの周りに60度（$\frac{\pi}{3}$ラジアン）ずつ回転した位置にあります。与えられた頂点をA$(1,-4)$とします。残りの頂点をB, C, D, E, Fとします。

正六角形の頂点は、原点Oを中心とした回転変換によって求めることができます。回転行列は以下の通りです。

$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

ここで、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$、$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、回転行列は

$R(\frac{\pi}{3}) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

また、$\theta = -\frac{\pi}{3}$ のときは、 $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$、$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、回転行列は

$R(-\frac{\pi}{3}) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

与えられた頂点A$(1, -4)$を基準として、正方向に回転していくと、残りの頂点を求めることができます。

また、反対方向へ回転しても同様に求められます。

A(1, -4)から $\frac{\pi}{3}$ ずつ回転した点を計算します。

点Aを$\frac{\pi}{3}$回転させた点をBとすると、

$\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + 2\sqrt{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \end{pmatrix}$

よってBの座標は $(\frac{1}{2} + 2\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2} - 2)$

点Aを$-\frac{\pi}{3}$回転させた点をFとすると、

$\begin{pmatrix} x_F \\ y_F \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \end{pmatrix}$

よってFの座標は $(\frac{1}{2} - 2\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2)$

また、対角線上にある頂点Dは、Aの座標に-1を掛けたものです。

Dの座標は$(-1, 4)$

CはBを$\frac{\pi}{3}$回転させた点であり、EはFを$-\frac{\pi}{3}$回転させた点なので、これらを計算します。

$\begin{pmatrix} x_C \\ y_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + 2\sqrt{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} + \sqrt{3} - \frac{3}{4} + \sqrt{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{4} + 3 - 1/2 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{3}-\frac{1}{2} \\ \frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

よってCの座標は $(2\sqrt{3}-\frac{1}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{2})$

$\begin{pmatrix} x_E \\ y_E \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} - \sqrt{3} - \frac{3}{4} - \sqrt{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{4} + 3 - 1/2 - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\sqrt{3}-\frac{1}{2} \\ -\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

よってEの座標は $(-2\sqrt{3}-\frac{1}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{2})$

3. 最終的な答え

残りの5頂点の座標は次の通りです。

$(\frac{1}{2} + 2\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2} - 2)$, $(2\sqrt{3}-\frac{1}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{2})$, $(-1, 4)$, $(-2\sqrt{3}-\frac{1}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{2})$, $(\frac{1}{2} - 2\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2)$