$\triangle ABC$ において、$BC = 6$, $AB = AC = 7$ である。$\triangle ABC$ の重心を $G$ とし、直線 $AG$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。線分 $BD$, $AD$, $AG$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$BC = 6$, $AB = AC = 7$ である。$\triangle ABC$ の重心を $G$ とし、直線 $AG$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。線分 $BD$, $AD$, $AG$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$AD$ は $BC$ の中線である。なぜなら、$\triangle ABC$ は $AB=AC$ の二等辺三角形だから、$AD \perp BC$ であり、かつ $D$ は $BC$ の中点となる。したがって、$BD = CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ である。

次に、$AD$ の長さを求める。$\triangle ABD$ は直角三角形であるから、ピタゴラスの定理より

$AD^2 + BD^2 = AB^2$

$AD^2 + 3^2 = 7^2$

$AD^2 + 9 = 49$

$AD^2 = 40$

$AD = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

重心 $G$ は中線 $AD$ を $2:1$ に内分する点であるから、$AG : GD = 2 : 1$ である。したがって、

$AG = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{10} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$BD = 3$

$AD = 2\sqrt{10}$

$AG = \frac{4\sqrt{10}}{3}$