(1) 図において、点Oは三角形ABCの外心である。角Bが26度、角Cが47度であるとき、角$\alpha$と$\beta$を求めよ。 (2) 図において、点Iは三角形ABCの内心である。角Aの上側の角度が44度、角Cが25度であるとき、角$\alpha$と$\beta$を求めよ。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) 図において、点Oは三角形ABCの外心である。角Bが26度、角Cが47度であるとき、角$\alpha$と$\beta$を求めよ。

(2) 図において、点Iは三角形ABCの内心である。角Aの上側の角度が44度、角Cが25度であるとき、角$\alpha$と$\beta$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* 三角形の内角の和は180度なので、角Aは$180 - 26 - 47 = 107$度である。

* 点Oは三角形ABCの外心なので、角BOCは角Aの2倍、つまり$107 \times 2 = 214$度である。

* 三角形OBCはOB = OCの二等辺三角形なので、角OBC = 角OCBである。よって角OBC = 角OCB = $(180 - 214) / 2 = -34 / 2 = -17$度。これはあり得ないので、点Oは三角形の内側ではなく外側にある。

* この場合、角BOCは角Aに対する中心角なので、$360 - 214 = 146$度となる。

* 角OBC = 角OCB = $(180 - 146) / 2 = 34 / 2 = 17$度となる。

* 角$\alpha$は角OBAなので、$26 - 17 = 9$度である。

* 角$\beta$は角OACなので、角OACを計算する必要がある。角OAC = 角BAC - 角BAO = 角BAC - 角OAB

* 角BCA + 角CBA = 47 + 26 = 73 度

* 角BAC = 180 - 73 = 107度

* 角OAB = 角OAC

* 角OAC = $47 - 17 = 30$度なので、$\beta = 30$度。

(2)

* 点Iは三角形ABCの内心なので、AIは角Aの二等分線であり、CIは角Cの二等分線である。

* 角Aの上側の角度が44度なので、角BAI = 44度。よって角BAC = 44 * 2 = 88度

* 同様に、角BCI = 25度なので、角BCA = 25 * 2 = 50度

* 角ABC = 180 - 88 - 50 = 42度

* BIは角Bの二等分線なので、角ABI = 42 / 2 = 21度。これが$\beta$の値となる。

* 角$\alpha$は角IACなので、$\alpha = 44$度。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 9$度、$\beta = 30$度

(2) $\alpha = 44$度、$\beta = 21$度