円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=4, CD=3, DA=2であるとき、対角線ACの長さと、四角形ABCDの面積Sを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=4, CD=3, DA=2であるとき、対角線ACの長さと、四角形ABCDの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さを求める。

余弦定理を三角形ABCと三角形ADCに適用する。

$\angle ABC = \theta$とおくと、円に内接する四角形の性質より、$\angle ADC = 180^\circ - \theta$となる。

三角形ABCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\theta$

$AC^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos\theta$

$AC^2 = 4 + 16 - 16\cos\theta$

$AC^2 = 20 - 16\cos\theta$ … (1)

三角形ADCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(180^\circ - \theta)$

$AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(180^\circ - \theta)$

$AC^2 = 4 + 9 - 12 \cdot (-\cos\theta)$

$AC^2 = 13 + 12\cos\theta$ … (2)

(1)と(2)より、

$20 - 16\cos\theta = 13 + 12\cos\theta$

$7 = 28\cos\theta$

$\cos\theta = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

これを(2)に代入して、

$AC^2 = 13 + 12 \cdot \frac{1}{4}$

$AC^2 = 13 + 3 = 16$

$AC = \sqrt{16} = 4$

(2) 四角形ABCDの面積Sを求める。

$\cos\theta = \frac{1}{4}$なので、

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

四角形ABCDの面積Sは、三角形ABCの面積と三角形ADCの面積の和である。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\theta + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin(180^\circ - \theta)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$

$S = \sqrt{15} + \frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{4\sqrt{15} + 3\sqrt{15}}{4} = \frac{7\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 対角線ACの長さ：4

(2) 四角形ABCDの面積S：$\frac{7\sqrt{15}}{4}$