2直線 $y = -x + 6$ と $y = (2 + \sqrt{3})x - 2$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。

1. 問題の内容

2直線 $y = -x + 6$ と $y = (2 + \sqrt{3})x - 2$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。

2. 解き方の手順

2直線のなす角を求めるには、それぞれの直線の傾きからtanの加法定理を利用します。

* 直線 $y = -x + 6$ の傾きを $m_1$ とすると、$m_1 = -1$ です。

* 直線 $y = (2 + \sqrt{3})x - 2$ の傾きを $m_2$ とすると、$m_2 = 2 + \sqrt{3}$ です。

これらの傾きを持つ直線のなす角を $\theta$ とすると、以下の公式が成り立ちます。

$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

この公式に $m_1$ と $m_2$ の値を代入します。

$\tan \theta = \left| \frac{(2 + \sqrt{3}) - (-1)}{1 + (-1)(2 + \sqrt{3})} \right| = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{1 - 2 - \sqrt{3}} \right| = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{-1 - \sqrt{3}} \right|$

絶対値の中身を整理するために、分子と分母に $-1$ を掛けて分母を正にします。

$\tan \theta = \left| \frac{-3 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \right| = \left| \frac{-(3 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}} \right| = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \right|$

分母の有理化を行います。

$\tan \theta = \frac{3 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}{1 - 3} = \frac{-2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3}$

したがって、$\tan \theta = \sqrt{3}$ となります。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$