円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2, BC=4, CD=3, DA=2$であるとき、以下の値を求める。 (1) 対角線ACの長さ (2) 四角形ABCDの面積S

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2, BC=4, CD=3, DA=2$であるとき、以下の値を求める。

(1) 対角線ACの長さ

(2) 四角形ABCDの面積S

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さを求める。

余弦定理を三角形ABCと三角形ADCに適用する。

$\angle ABC = \theta$とすると、円に内接する四角形の性質より$\angle ADC = 180^\circ - \theta$である。

三角形ABCにおいて、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\theta = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos\theta = 4 + 16 - 16\cos\theta = 20 - 16\cos\theta$

三角形ADCにおいて、

$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(180^\circ - \theta) = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(180^\circ - \theta) = 4 + 9 + 12\cos\theta = 13 + 12\cos\theta$

したがって、

$20 - 16\cos\theta = 13 + 12\cos\theta$

$28\cos\theta = 7$

$\cos\theta = \frac{1}{4}$

これを$AC^2$の式に代入する。

$AC^2 = 20 - 16\cdot\frac{1}{4} = 20 - 4 = 16$

$AC = \sqrt{16} = 4$

(2) 四角形ABCDの面積Sを求める。

三角形ABCの面積を$S_1$、三角形ADCの面積を$S_2$とすると、

$S = S_1 + S_2$

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\theta = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin\theta = 4\sin\theta$

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC \cdot \sin(180^\circ - \theta) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin\theta = 3\sin\theta$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$より、

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$S = S_1 + S_2 = 4\sin\theta + 3\sin\theta = 7\sin\theta = 7 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{7\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 対角線ACの長さは4

(2) 四角形ABCDの面積Sは$\frac{7\sqrt{15}}{4}$