円に内接する四角形ABCDがあり、各辺の長さが$AB=2$, $BC=4$, $CD=3$, $DA=2$である。 (1) 対角線ACの長さを求める。 (2) 四角形ABCDの面積Sを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、各辺の長さが$AB=2$, $BC=4$, $CD=3$, $DA=2$である。

(1) 対角線ACの長さを求める。

(2) 四角形ABCDの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さ

四角形ABCDは円に内接するので、トレミーの定理が成り立つ。

トレミーの定理より、$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$

$2 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = AC \cdot BD$

$6 + 8 = AC \cdot BD$

$14 = AC \cdot BD$

余弦定理を用いて$AC^2$を表す。

$\triangle ABC$において、$\angle B = \theta$とおくと

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \theta = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos \theta = 4 + 16 - 16 \cos \theta = 20 - 16 \cos \theta$

$\triangle ADC$において、$\angle D = 180^\circ - \theta$より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos (180^\circ - \theta) = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos (180^\circ - \theta) = 4 + 9 + 12 \cos \theta = 13 + 12 \cos \theta$

したがって、$20 - 16 \cos \theta = 13 + 12 \cos \theta$

$7 = 28 \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

$AC^2 = 13 + 12 \cdot \frac{1}{4} = 13 + 3 = 16$

$AC = 4$

(2) 四角形ABCDの面積S

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

四角形ABCDの面積Sは、

$S = \triangle ABC + \triangle ADC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \theta + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin (180^\circ - \theta)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin \theta + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin \theta = 4 \sin \theta + 3 \sin \theta = 7 \sin \theta$

$S = 7 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{7 \sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 対角線ACの長さ: 4

(2) 四角形ABCDの面積S: $\frac{7\sqrt{15}}{4}$