(1) $\triangle ABC$において、$A = 70^\circ, C = 50^\circ, b = 7$のとき、外接円の半径$R$を求める。 (3) $\triangle ABC$において、$a = 5\sqrt{3}$, 外接円の半径$R = 5$のとき、角$A$を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$において、$A = 70^\circ, C = 50^\circ, b = 7$のとき、外接円の半径$R$を求める。

(3) $\triangle ABC$において、$a = 5\sqrt{3}$, 外接円の半径$R = 5$のとき、角$A$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$B$の角度を求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ$

正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = 2R$が成り立ちます。

$b=7, B=60^\circ$を代入して、$\frac{7}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{14}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3)

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$が成り立ちます。

$a = 5\sqrt{3}, R = 5$を代入して、$\frac{5\sqrt{3}}{\sin A} = 2 \times 5 = 10$

$\sin A = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$A$は三角形の内角なので、$0^\circ < A < 180^\circ$です。

$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす$A$は、$60^\circ$または$120^\circ$です。

3. 最終的な答え

(1) $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) $A = 60^\circ, 120^\circ$