三角形$ABC$において、辺$BC$を$1:2$に内分する点を$P$、線分$AP$を$2:1$に内分する点を$Q$とする。線分$CQ$の延長が辺$AB$と交わる点を$R$とする。このとき、以下の比を求めよ。 (1) $AR:RB$ (2) $CQ:QR$ (3) $\triangle ARQ : \triangle ABC$

1. 問題の内容

三角形$ABC$において、辺$BC$を$1:2$に内分する点を$P$、線分$AP$を$2:1$に内分する点を$Q$とする。線分$CQ$の延長が辺$AB$と交わる点を$R$とする。このとき、以下の比を求めよ。

(1) $AR:RB$

(2) $CQ:QR$

(3) $\triangle ARQ : \triangle ABC$

2. 解き方の手順

(1) $AR:RB$ を求める

メネラウスの定理を$\triangle ABP$と直線$CRQ$に適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CP} \cdot \frac{PQ}{QA} = 1$

$BC:CP = (1+2):2 = 3:2$なので$\frac{BC}{CP}=\frac{3}{2}$。

$PQ:QA=1:2$なので$\frac{PQ}{QA}=\frac{1}{2}$。

したがって、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{4}{3}$

ゆえに、$AR:RB=4:3$

(2) $CQ:QR$ を求める

チェバの定理を$\triangle ABC$と点$Q$に適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$ (ここで、$E$は$AQ$と$BC$の交点)

$\frac{AR}{RB}=\frac{4}{3}$

$BP:PC=1:2$なので$\frac{BP}{PC}=\frac{1}{2}$。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CE}{EA}= \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CE}{EA} =1$

$\frac{CE}{EA}=\frac{3}{2}$

ここで、メネラウスの定理を$\triangle ABQ$と直線$RC$に適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CP} \cdot \frac{PQ}{QA} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BA}{AQ} \cdot \frac{QR}{RC} = 1$

メネラウスの定理を$\triangle BCR$と直線$AP$に適用すると、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QR} \cdot \frac{RA}{AB} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{CQ}{QR} \cdot \frac{4}{7} = 1$

$\frac{CQ}{QR} = \frac{7}{2}$

ゆえに、$CQ:QR = 7:2$

(3) $\triangle ARQ : \triangle ABC$ を求める

$\triangle ARQ = \frac{AR}{AB} \cdot \frac{AQ}{AP} \cdot \triangle ABP$

$\triangle ARQ = \frac{AR}{AR+RB} \cdot \frac{AQ}{AP} \cdot \triangle ABP$

$\triangle ARQ = \frac{4}{4+3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \triangle ABP$

$\triangle ARQ = \frac{8}{21} \triangle ABP$

$\triangle ABP = \frac{BP}{BC} \triangle ABC$

$\triangle ABP = \frac{1}{3} \triangle ABC$

$\triangle ARQ = \frac{8}{21} \cdot \frac{1}{3} \triangle ABC$

$\triangle ARQ = \frac{8}{63} \triangle ABC$

$\triangle ARQ : \triangle ABC = 8:63$

3. 最終的な答え

(1) $AR:RB = 4:3$

(2) $CQ:QR = 7:2$

(3) $\triangle ARQ : \triangle ABC = 8:63$