問題は、余弦定理を用いて三角形の辺の長さを求める問題です。 (1) $\triangle ABC$ において、$a=2$, $b=2\sqrt{3}$, $C=30^\circ$ のとき、$c$ の値を求めます。 (3) $\triangle ABC$ において、$b=3$, $c=\sqrt{3}$, $A=150^\circ$ のとき、$a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は、余弦定理を用いて三角形の辺の長さを求める問題です。

(1) $\triangle ABC$ において、$a=2$, $b=2\sqrt{3}$, $C=30^\circ$ のとき、$c$ の値を求めます。

(3) $\triangle ABC$ において、$b=3$, $c=\sqrt{3}$, $A=150^\circ$ のとき、$a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて $c$ を求めます。余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ で表されます。

与えられた値を代入すると、

$c^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ$

$c^2 = 4 + 12 - 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 16 - 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 - 12 = 4$

$c = \sqrt{4} = 2$

(3) 余弦定理を用いて $a$ を求めます。余弦定理は、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ で表されます。

与えられた値を代入すると、

$a^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 150^\circ$

$a^2 = 9 + 3 - 6\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$a^2 = 12 - 6\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 12 + 9 = 21$

$a = \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) $c = 2$

(3) $a = \sqrt{21}$