三角形ABCにおいて、点Oは外心である。角Bが26度、角Cが47度とわかっているとき、角$\alpha$と角$\beta$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Oは外心である。角Bが26度、角Cが47度とわかっているとき、角$\alpha$と角$\beta$を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和の定理を用いて、角Aを求める。

$A + B + C = 180^\circ$

$A + 26^\circ + 47^\circ = 180^\circ$

$A = 180^\circ - 26^\circ - 47^\circ = 107^\circ$

次に、外心の性質を利用する。外心は三角形の外接円の中心であり、外心から各頂点までの距離は等しい。

そのため、三角形OABは二等辺三角形となる。

したがって、$\angle OAB = \angle OBA$ である。

$\angle AOB = 2 \angle ACB$

$\angle AOB = 2 \times 47^\circ = 94^\circ$

三角形OABについて

$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$

$2\angle OAB + 94^\circ = 180^\circ$

$2\angle OAB = 86^\circ$

$\angle OAB = 43^\circ$

したがって、$\alpha = \angle OAB = 43^\circ$

次に$\beta$を求める。

$\beta = \angle BAC - \angle OAB = 107^\circ - 43^\circ = 64^\circ$

3. 最終的な答え

$\alpha = 43^\circ$

$\beta = 64^\circ$