三角形ABCにおいて、$a=10$, $A=30^\circ$, $B=45^\circ$のとき、$b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=10$, $A=30^\circ$, $B=45^\circ$のとき、$b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。正弦定理は、三角形ABCにおいて、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

である。

今回は、$a$, $A$, $B$が与えられているので、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$を用いて$b$を求める。

$\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

であるから、

$\frac{10}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$20 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$

$20\sqrt{2} = 2b$

$b = 10\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$b = 10\sqrt{2}$