円 $x^2 + y^2 = 6$ と直線 $y = 2x + 1$ の共有点の個数を求めます。

## (1)

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 6$ と直線 $y = 2x + 1$ の共有点の個数を求めます。

2. 解き方の手順

円と直線の共有点の個数を求めるには、まず直線の方程式を円の方程式に代入して、$x$ の二次方程式を作ります。

$x^2 + (2x+1)^2 = 6$

$x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 6$

$5x^2 + 4x - 5 = 0$

この二次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$

$D = 4^2 - 4(5)(-5) = 16 + 100 = 116$

$D > 0$ なので、この二次方程式は異なる2つの実数解を持ちます。したがって、円と直線は異なる2点で交わります。

3. 最終的な答え

2個

## (2)

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = -x + 7$ の共有点の個数を求めます。

2. 解き方の手順

円と直線の共有点の個数を求めるには、まず直線の方程式を円の方程式に代入して、$x$ の二次方程式を作ります。

$x^2 + (-x+7)^2 = 3$

$x^2 + (x^2 - 14x + 49) = 3$

$2x^2 - 14x + 46 = 0$

$x^2 - 7x + 23 = 0$

この二次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$

$D = (-7)^2 - 4(1)(23) = 49 - 92 = -43$

$D < 0$ なので、この二次方程式は実数解を持ちません。したがって、円と直線は交わりません。

3. 最終的な答え

0個