円 $C_1: x^2+y^2+2x-4y+1=0$、円 $C_2: x^2+y^2-4x-12y+32-k=0$、直線 $l: 2x+y-40=0$ が与えられている。 (1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を求める。 (2) 円 $C_1$ の中心をP、円 $C_2$ の中心をQとするとき、2点P,Qの距離を求め、円 $C_1$ と $C_2$ がただ1つの共有点をもつときのkの値を求める。 (3) 円 $C_2$ と直線 $l$ が接するときのkの値を求める。

1. 問題の内容

円 $C_1: x^2+y^2+2x-4y+1=0$、円 $C_2: x^2+y^2-4x-12y+32-k=0$、直線 $l: 2x+y-40=0$ が与えられている。

(1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を求める。

(2) 円 $C_1$ の中心をP、円 $C_2$ の中心をQとするとき、2点P,Qの距離を求め、円 $C_1$ と $C_2$ がただ1つの共有点をもつときのkの値を求める。

(3) 円 $C_2$ と直線 $l$ が接するときのkの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C_1$ の方程式を平方完成する。

$x^2+2x+y^2-4y+1=0$

$(x+1)^2-1+(y-2)^2-4+1=0$

$(x+1)^2+(y-2)^2=4$

よって、中心の座標は $(-1,2)$、半径は $\sqrt{4}=2$。

(2) 円 $C_2$ の方程式を平方完成する。

$x^2-4x+y^2-12y+32-k=0$

$(x-2)^2-4+(y-6)^2-36+32-k=0$

$(x-2)^2+(y-6)^2=k+8$

よって、円 $C_2$ の中心Qの座標は $(2,6)$。

PとQの距離は

$PQ=\sqrt{(2-(-1))^2+(6-2)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

円 $C_1$ と $C_2$ がただ1つの共有点を持つとき、2つの円が外接または内接する。

外接するとき、$PQ=r_1+r_2$ より、 $5=2+\sqrt{k+8}$ となる。

$\sqrt{k+8}=3$

$k+8=9$

$k=1$

内接するとき、$PQ=|r_1-r_2|$ より、$5=|2-\sqrt{k+8}|$ となる。

$2-\sqrt{k+8}=5$ または $2-\sqrt{k+8}=-5$

$-\sqrt{k+8}=3$ または $-\sqrt{k+8}=-7$

$\sqrt{k+8}=-3$ は不適。

$\sqrt{k+8}=7$

$k+8=49$

$k=41$

(3) 円 $C_2$ と直線 $l$ が接するとき、円 $C_2$ の中心 $(2,6)$ と直線 $2x+y-40=0$ との距離が半径 $\sqrt{k+8}$ に等しい。

$\frac{|2(2)+6-40|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{k+8}$

$\frac{|4+6-40|}{\sqrt{5}}=\sqrt{k+8}$

$\frac{|-30|}{\sqrt{5}}=\sqrt{k+8}$

$\frac{30}{\sqrt{5}}=\sqrt{k+8}$

$\frac{900}{5}=k+8$

$180=k+8$

$k=172$

3. 最終的な答え

(1) 中心の座標: $(-1,2)$、半径: $2$

(2) $PQ=5$、kの値: $1$ または $41$

(3) $k=172$