円 $x^2 + y^2 = 1$ に直線 $y = kx$ を代入して整理した2次方程式の判別式 $D$ を求め、$D>0$ となる条件を求める。さらに、$D>0$ のとき、共有点の個数を答える。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ に直線 $y = kx$ を代入して整理した2次方程式の判別式 $D$ を求め、$D>0$ となる条件を求める。さらに、$D>0$ のとき、共有点の個数を答える。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式に直線の式を代入する。

$x^2 + (kx)^2 = 1$

$x^2 + k^2x^2 = 1$

$(k^2 + 1)x^2 = 1$

$(k^2 + 1)x^2 - 1 = 0$

(2) 2次方程式の判別式 $D$ を計算する。

$ax^2 + bx + c = 0$ の判別式は $D = b^2 - 4ac$ で求められる。

この問題では、$a = k^2 + 1$, $b = 0$, $c = -1$ なので、

$D = 0^2 - 4(k^2 + 1)(-1)$

$D = 4(k^2 + 1)$

$D = 4k^2 + 4$

(3) $D > 0$ となる条件を求める。

$4k^2 + 4 > 0$

$k^2 + 1 > 0$

$k^2 > -1$

これはすべての実数 $k$ で成り立つ。

(4) $D>0$のとき、共有点の個数を求める。

$D>0$ であるから、2次方程式は異なる2つの実数解を持つ。これは、円と直線が異なる2点で交わることを意味する。したがって、共有点の個数は2個である。

3. 最終的な答え

(1) $(k^2 + 1)x^2 - 1 = 0$

$D = 4k^2 + 4$

$4k^2 + 4 > 0$

(2) 共有点の個数は $2$ 個である。