$\alpha$が鋭角、$\beta$が鈍角であるとき、 (1) $\cos\alpha = \frac{1}{3}$, $\sin\beta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$ の値を求める。 (2) $\tan\alpha = 5$, $\tan\beta = -3$ のとき、$\tan(\alpha+\beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$が鋭角、$\beta$が鈍角であるとき、

(1) $\cos\alpha = \frac{1}{3}$, $\sin\beta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$ の値を求める。

(2) $\tan\alpha = 5$, $\tan\beta = -3$ のとき、$\tan(\alpha+\beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\alpha$は鋭角なので、$\sin\alpha > 0$ であるから、

$\sin\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ より、

$\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\beta$は鈍角なので、$\cos\beta < 0$ であるから、

$\cos\beta = -\sqrt{\frac{15}{16}} = -\frac{\sqrt{15}}{4}$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{15}}{4}) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{2\sqrt{30}}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1-2\sqrt{30}}{12}$

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{15}}{4}) - \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{\sqrt{15}}{12} - \frac{2\sqrt{2}}{12} = \frac{-\sqrt{15}-2\sqrt{2}}{12}$

(2)

$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

$\tan\alpha = 5$, $\tan\beta = -3$ より、

$\tan(\alpha+\beta) = \frac{5+(-3)}{1-5(-3)} = \frac{2}{1+15} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\alpha+\beta) = \frac{1-2\sqrt{30}}{12}$, $\cos(\alpha+\beta) = \frac{-\sqrt{15}-2\sqrt{2}}{12}$

(2) $\tan(\alpha+\beta) = \frac{1}{8}$