点 $Q$ が直線 $y = 2x + 4$ 上を動くとき、点 $A(-5, 2)$ と点 $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ の中点 $P$ の軌跡を求める。

1. 問題の内容

点 $Q$ が直線 $y = 2x + 4$ 上を動くとき、点 $A(-5, 2)$ と点 $Q$ を結ぶ線分 $AQ$ の中点 $P$ の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点 $Q$ の座標を $(s, t)$ とする。点 $Q$ は直線 $y = 2x + 4$ 上にあるので、$t = 2s + 4$ が成り立つ。

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。点 $P$ は線分 $AQ$ の中点なので、

$$x = \frac{-5 + s}{2}$$

$$y = \frac{2 + t}{2}$$

が成り立つ。

これらの式から、$s$ と $t$ を $x$ と $y$ で表すと、

$$s = 2x + 5$$

$$t = 2y - 2$$

となる。

$t = 2s + 4$ にこれらの式を代入すると、

$$2y - 2 = 2(2x + 5) + 4$$

$$2y - 2 = 4x + 10 + 4$$

$$2y = 4x + 16$$

$$y = 2x + 8$$

3. 最終的な答え

求める軌跡は、直線 $y = 2x + 8$ である。