直線 $l$ は $y=x$ のグラフであり、点Aの座標は$(3, 1)$、点Bの座標は$(7, 5)$である。直線 $l$ 上に点Pをとり、$AP + PB$を最小にする。そのときの点Pの座標を、選択肢①～⑤の中から一つ選ぶ。

1. 問題の内容

直線 $l$ は $y=x$ のグラフであり、点Aの座標は$(3, 1)$、点Bの座標は$(7, 5)$である。直線 $l$ 上に点Pをとり、$AP + PB$を最小にする。そのときの点Pの座標を、選択肢①～⑤の中から一つ選ぶ。

2. 解き方の手順

点Aの$y=x$に関する対称点A'を求める。A'の座標は$(1, 3)$となる。

$AP + PB$が最小になるのは、$A'P + PB$が最小になるときであり、これはA', P, Bが一直線上にあるときである。

直線A'Bの方程式を求める。直線の傾きは$\frac{5-3}{7-1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$である。

直線A'Bの方程式は$y - 3 = \frac{1}{3}(x - 1)$と表せる。

$y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$

点Pは直線$y=x$上にあるので、$y=x$と$y = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$の交点を求める。

$x = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$

$\frac{2}{3}x = \frac{8}{3}$

$x = 4$

したがって、$y = 4$

点Pの座標は$(4, 4)$である。

3. 最終的な答え

(4, 4)