$\triangle ABC$は$\angle B=90^{\circ}$の直角三角形であり、$D, E$はそれぞれ辺$AB, BC$の中点、$F$は$AE$と$CD$の交点である。$AB=4cm, BC=6cm$のとき、四角形$DBEF$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$は$\angle B=90^{\circ}$の直角三角形であり、$D, E$はそれぞれ辺$AB, BC$の中点、$F$は$AE$と$CD$の交点である。$AB=4cm, BC=6cm$のとき、四角形$DBEF$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、座標平面上に図形を配置します。$B$を原点$(0,0)$、$A$を$(4,0)$、$C$を$(0,6)$とします。

すると、$D$は$AB$の中点なので$(2,0)$、$E$は$BC$の中点なので$(0,3)$となります。

直線$AE$の式は、2点$(4,0), (0,3)$を通るので、傾きは$\frac{3-0}{0-4} = -\frac{3}{4}$、切片は3なので、$y = -\frac{3}{4}x + 3$となります。

直線$CD$の式は、2点$(0,6), (2,0)$を通るので、傾きは$\frac{0-6}{2-0} = -3$、切片は6なので、$y = -3x + 6$となります。

点$F$は$AE$と$CD$の交点なので、$F$の座標は以下の連立方程式を解くことで求められます。

$y = -\frac{3}{4}x + 3$

$y = -3x + 6$

$-\frac{3}{4}x + 3 = -3x + 6$

$-\frac{3}{4}x + 3x = 6 - 3$

$\frac{9}{4}x = 3$

$x = \frac{4}{9} \times 3 = \frac{4}{3}$

$y = -3 \times \frac{4}{3} + 6 = -4 + 6 = 2$

よって、$F$の座標は$(\frac{4}{3}, 2)$となります。

四角形$DBEF$の面積は、$\triangle DBE$の面積と$\triangle BEF$の面積の和で求められます。

$\triangle DBE$の面積は、$\frac{1}{2} \times DB \times BE = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$

$\triangle BEF$の面積は、$\frac{1}{2} |x_B(y_E - y_F) + x_E(y_F - y_B) + x_F(y_B - y_E)| = \frac{1}{2} |0(3-2) + 0(2-0) + \frac{4}{3}(0-3)| = \frac{1}{2} |0 + 0 - 4| = \frac{1}{2} \times 4 = 2$

四角形$DBEF$の面積は、$3 + 2 = 5$

3. 最終的な答え

$5 cm^2$