三角形ABCにおいて、辺ABを3:1に内分する点をD、辺ACを2:3に内分する点をEとする。線分BEと線分CDの交点をPとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$とするとき、$\overrightarrow{AP}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを3:1に内分する点をD、辺ACを2:3に内分する点をEとする。線分BEと線分CDの交点をPとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$とするとき、$\overrightarrow{AP}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{AE}$を$\vec{b}$と$\vec{c}$で表す。

DはABを3:1に内分するので、

$$\overrightarrow{AD} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\vec{b}$$

EはACを2:3に内分するので、

$$\overrightarrow{AE} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AC} = \frac{2}{5}\vec{c}$$

(2) $\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{BE}$と$\overrightarrow{CD}$を用いて表す。

点Pは線分BE上にあるので、$s$を実数として

$$\overrightarrow{AP} = (1-s)\overrightarrow{AB} + s\overrightarrow{AE} = (1-s)\vec{b} + s \frac{2}{5}\vec{c}$$

点Pは線分CD上にあるので、$t$を実数として

$$\overrightarrow{AP} = (1-t)\overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AD} = (1-t)\vec{c} + t \frac{3}{4}\vec{b}$$

(3) $\vec{b}$と$\vec{c}$は一次独立なので、係数を比較する。

$\overrightarrow{AP}$の2つの表示より、

$$1-s = \frac{3}{4}t$$

$$\frac{2}{5}s = 1-t$$

これらの連立方程式を解く。

$t = 1 - \frac{2}{5}s$を$1-s = \frac{3}{4}t$に代入して、

$$1-s = \frac{3}{4}(1 - \frac{2}{5}s)$$

$$4(1-s) = 3(1 - \frac{2}{5}s)$$

$$4 - 4s = 3 - \frac{6}{5}s$$

$$1 = 4s - \frac{6}{5}s = \frac{20-6}{5}s = \frac{14}{5}s$$

$$s = \frac{5}{14}$$

これを$\overrightarrow{AP} = (1-s)\vec{b} + s \frac{2}{5}\vec{c}$に代入して、

$$\overrightarrow{AP} = (1 - \frac{5}{14})\vec{b} + \frac{5}{14} \cdot \frac{2}{5} \vec{c} = \frac{9}{14}\vec{b} + \frac{1}{7}\vec{c}$$

3. 最終的な答え

$$\overrightarrow{AP} = \frac{9}{14}\vec{b} + \frac{1}{7}\vec{c}$$