$\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $AC = 3$, $\angle A = 60^\circ$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$AD$ の長さを求めよ。求める $AD$ の長さは、$\frac{\boxed{①}\sqrt{\boxed{②}}}{\boxed{③}}$ の形式で答える。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $AC = 3$, $\angle A = 60^\circ$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$AD$ の長さを求めよ。求める $AD$ の長さは、$\frac{\boxed{①}\sqrt{\boxed{②}}}{\boxed{③}}$ の形式で答える。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めます。

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

次に、$AD = x$ とおき、$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ の面積をそれぞれ求めます。$\angle BAD = \angle CAD = 30^\circ$ であるから、

$\triangle ABD = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = x$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}x$

ここで、$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD$ より、

$3\sqrt{3} = x + \frac{3}{4}x = \frac{7}{4}x$

したがって、$x = \frac{12\sqrt{3}}{7}$ となります。

3. 最終的な答え

$AD = \frac{12\sqrt{3}}{7}$

① = 12

② = 3

③ = 7