$\angle A = 60^\circ$, $AB = 4$, $CA = 3$ である $\triangle ABC$ について、面積 $S$ と辺 $BC$ の長さを求めます。

1. 問題の内容

$\angle A = 60^\circ$, $AB = 4$, $CA = 3$ である $\triangle ABC$ について、面積 $S$ と辺 $BC$ の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めます。

面積の公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ を利用します。

$S = \frac{1}{2} \times AB \times CA \times \sin A$

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \sin 60^\circ$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

(2) 辺 $BC$ の長さを求めます。

余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ を利用します。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \times AB \times CA \times \cos A$

$BC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \times 4 \times 3 \times \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ より、

$BC^2 = 16 + 9 - 2 \times 4 \times 3 \times \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$

$BC = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$\triangle ABC$ の面積 $S = 3\sqrt{3}$

辺 $BC$ の長さ $BC = \sqrt{13}$