## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容

図に示す3つの円において、$x$ の値を求める問題です。いずれの図も、直線 PT は円の接線で、T はその接点です。

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2. 解き方の手順

この問題は、円の接線に関する性質を利用して解きます。具体的には、接線定理（円外の一点から引いた接線の長さは等しい）と、方べきの定理を利用します。

**1つ目の図（①）**

* 方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB$ が成り立ちます。

* 与えられた値から、$PT = x$, $PA = 9$, $PB = PA + AB = 9+6=15$ です。

$$x^2 = 9 \cdot 15$$

$$x^2 = 135$$

$$x = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$$

**2つ目の図（②）**

* 方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB$ が成り立ちます。

* 与えられた値から、$PT = x$, $PA = 2$, $PB = PA + AB = 2+6=8$ です。

$$x^2 = 2 \cdot 8$$

$$x^2 = 16$$

$$x = 4$$

**3つ目の図（③）**

* 方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB$ が成り立ちます。

* $O$ が円の中心なので、$OA$ は半径であり、$OA=3$ です。

* $A$ は線分 $OP$ 上にあるため、$OP= x+3$ が成り立ちます。

* また、$PB = PA + AB = PA + 2 \cdot OA = x+6$ が成り立ちます。

* 与えられた値から、$PT = 4$, $PA = x$, $PB = x+6$ です。

$$4^2 = x \cdot (x+6)$$

$$16 = x^2 + 6x$$

$$x^2 + 6x - 16 = 0$$

$$(x + 8)(x - 2) = 0$$

$x > 0$ より、$x=2$

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3. 最終的な答え

① $x = 3\sqrt{15}$

② $x = 4$

③ $x = 2$