三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}, B = 45^\circ, C = 105^\circ$のとき、辺$b$と辺$c$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}, B = 45^\circ, C = 105^\circ$のとき、辺$b$と辺$c$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は180°であるから、角Aの大きさを求める。

$A + B + C = 180^\circ$より、

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ = 30^\circ$

次に、正弦定理を用いて$b$の値を求める。正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{\sqrt{2} \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2/2}{1/2} = 2 \cdot \frac{1}{1/2} = 2$

次に、正弦定理を用いて$c$の値を求める。正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{\sqrt{2} \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} = 2\sqrt{2} \sin 105^\circ$

ここで、$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

したがって、$c = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{12} + 2}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{2} = \sqrt{3} + 1$

3. 最終的な答え

$b = 2$

$c = 1 + \sqrt{3}$