三角形ABCにおいて、$b = 4\sqrt{3}$, $c = 4$, $A = 30^\circ$のとき、$a$と$B$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = 4\sqrt{3}$, $c = 4$, $A = 30^\circ$のとき、$a$と$B$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$a$を求める。

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{A}$

与えられた値を代入すると、

$a^2 = (4\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos{30^\circ}$

$a^2 = 16 \cdot 3 + 16 - 32\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 48 + 16 - 32 \cdot \frac{3}{2}$

$a^2 = 64 - 16 \cdot 3$

$a^2 = 64 - 48$

$a^2 = 16$

$a > 0$より、$a = 4$

次に、正弦定理を用いて$B$を求める。

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}}$

$\sin{B} = \frac{b \sin{A}}{a}$

$\sin{B} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sin{30^\circ}}{4}$

$\sin{B} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ < B < 180^\circ$ より、$B = 60^\circ$ または $B = 120^\circ$

$A = 30^\circ$なので、$B=120^\circ$の場合、$A+B = 150^\circ$となり、$C=30^\circ$

$B=60^\circ$の場合、$A+B = 90^\circ$となり、$C=90^\circ$

ここで$b=4\sqrt{3} > c=4$ なので、$B>C$ となるはずである。

したがって、$B=120^\circ$の場合、$C=30^\circ$となり、$B>C$を満たしている。

$B=60^\circ$の場合、$C=90^\circ$となり、$B<C$なので矛盾。

したがって、$B=60^\circ$

3. 最終的な答え

$a=4$, $B=60^\circ$