高さ50mの塔が立っている地点Hと同じ標高の地点Aから、塔の先端Pを見た角度が30°であった。また、Hと同じ標高の地点BからPを見た角度が45°で、∠BHA=30°であった。2地点A, B間の距離を求めよ。

1. 問題の内容

高さ50mの塔が立っている地点Hと同じ標高の地点Aから、塔の先端Pを見た角度が30°であった。また、Hと同じ標高の地点BからPを見た角度が45°で、∠BHA=30°であった。2地点A, B間の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、PHの長さを求めます。

地点AからPを見た角度が30°なので、$\tan 30^\circ = \frac{PH}{AH}$となります。

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$なので、

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{AH}$

$AH = 50\sqrt{3}$

次に、地点BからPを見た角度が45°なので、$\tan 45^\circ = \frac{PH}{BH}$となります。

$\tan 45^\circ = 1$なので、

$1 = \frac{50}{BH}$

$BH = 50$

三角形ABHにおいて、余弦定理を用います。

$AB^2 = AH^2 + BH^2 - 2 \cdot AH \cdot BH \cdot \cos \angle BHA$

$AB^2 = (50\sqrt{3})^2 + 50^2 - 2 \cdot 50\sqrt{3} \cdot 50 \cdot \cos 30^\circ$

$AB^2 = 50^2 \cdot 3 + 50^2 - 2 \cdot 50^2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AB^2 = 50^2 \cdot 3 + 50^2 - 50^2 \cdot 3$

$AB^2 = 50^2$

$AB = 50$

3. 最終的な答え

50