問題は、三角関数の加法定理に関する問題です。具体的には、$\sin \alpha$ と $\cos \beta$ の値が与えられたときに、$\cos \alpha$, $\sin \beta$, $\sin (\alpha + \beta)$, $\cos (\beta - \alpha)$ の値を求め、さらに直線の方程式から $\tan \alpha$, $\tan \beta$ を求め、二直線のなす角 $\theta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、三角関数の加法定理に関する問題です。具体的には、$\sin \alpha$ と $\cos \beta$ の値が与えられたときに、$\cos \alpha$, $\sin \beta$, $\sin (\alpha + \beta)$, $\cos (\beta - \alpha)$ の値を求め、さらに直線の方程式から $\tan \alpha$, $\tan \beta$ を求め、二直線のなす角 $\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \alpha$ と $\sin \beta$ を求める。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos \alpha > 0$ なので、

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (-\frac{5\sqrt{3}}{14})^2 = 1 - \frac{25 \cdot 3}{196} = 1 - \frac{75}{196} = \frac{121}{196}$

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ より、$\sin \beta > 0$ なので、

$\sin \beta = \sqrt{\frac{121}{196}} = \frac{11}{14}$

(2) $\sin (\alpha + \beta)$ と $\cos (\beta - \alpha)$ を求める。

加法定理より、

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{7} \cdot (-\frac{5\sqrt{3}}{14}) + \frac{4\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{11}{14} = -\frac{5\sqrt{3}}{98} + \frac{44\sqrt{3}}{98} = \frac{39\sqrt{3}}{98}$

$\cos (\beta - \alpha) = \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha = (-\frac{5\sqrt{3}}{14}) \cdot (\frac{4\sqrt{3}}{7}) + (\frac{11}{14}) \cdot (\frac{1}{7}) = -\frac{20 \cdot 3}{98} + \frac{11}{98} = -\frac{60}{98} + \frac{11}{98} = -\frac{49}{98} = -\frac{1}{2}$

(3) $\beta - \alpha$ を求める。

$\cos (\beta - \alpha) = -\frac{1}{2}$ より、$\beta - \alpha = \frac{2}{3} \pi$

(4) $\tan \alpha$ と $\tan \beta$ を求める。

$2x - y - 1 = 0$ より $y = 2x - 1$ なので、$\tan \alpha = 2$

$3x + y - 2 = 0$ より $y = -3x + 2$ なので、$\tan \beta = -3$

(5) $\theta$ を求める。

$\tan \theta = |\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}| = |\frac{2 - (-3)}{1 + 2 \cdot (-3)}| = |\frac{5}{1 - 6}| = |\frac{5}{-5}| = 1$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \alpha = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

$\sin \beta = \frac{11}{14}$

$\sin (\alpha + \beta) = \frac{39\sqrt{3}}{98}$

$\cos (\beta - \alpha) = -\frac{1}{2}$

$\beta - \alpha = \frac{2}{3} \pi$

$\tan \alpha = 2$

$\tan \beta = -3$

$\theta = \frac{\pi}{4}$