円Oにおいて、直線ATは点Aにおける円の接線である。弧ABと弧BCの長さが等しいとき、角$\theta$の大きさを求めよ。ただし、$\angle DCA = 103^\circ$, $\angle CBD = 41^\circ$である。

1. 問題の内容

円Oにおいて、直線ATは点Aにおける円の接線である。弧ABと弧BCの長さが等しいとき、角$\theta$の大きさを求めよ。ただし、$\angle DCA = 103^\circ$, $\angle CBD = 41^\circ$である。

2. 解き方の手順

(1) 円周角の定理より、弧ABに対する円周角は等しいので、$\angle BCA = \angle BDA$である。

同様に、弧BCに対する円周角は等しいので、$\angle BAC = \angle BDC$である。

弧ABと弧BCの長さが等しいので、$\angle BCA = \angle BAC$である。したがって、$\angle BDA = \angle BDC$となる。

(2) 四角形ABCDは円に内接するので、向かい合う角の和は$180^\circ$である。よって、$\angle DAB + \angle DCB = 180^\circ$である。

$\angle DCB = \angle DCA + \angle ACB = 103^\circ + \angle ACB$であり、$\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB$である。

(3) 円の接線ATと弦ABがつくる角$\theta$は、その弦ABに対する円周角$\angle BCA$に等しい。よって、$\theta = \angle BCA$である。

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \angle ABD + 41^\circ$となる。

(4) $\triangle BCD$において、$\angle BCD + \angle CDB + \angle DBC = 180^\circ$である。$\angle BCD = \angle BCA = \angle BAC$なので、$\angle BCA = \angle BAC = \theta$である。

$\angle CDB = \angle BDA + \angle BDC = 2 \angle BDA$である。

$\angle BDA = \angle BCA = \theta$なので、$\angle CDB = 2\theta$である。

したがって、$\angle BCD + \angle CDB + \angle DBC = \theta + 2\theta + 41^\circ = 180^\circ$となる。

(5) よって、$3\theta = 180^\circ - 41^\circ = 139^\circ$となるので、$\theta = \frac{139}{3}$は整数ではない。

考え方を変える。

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$である。

$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$であり、$\angle ADB = \theta$、$\angle BDC = \theta$なので、$\angle ADC = 2\theta$となる。

$\angle DCB = 103^\circ$であり、$\angle ABC = 180^\circ - 103^\circ = 77^\circ$となる。

$\angle CBD = 41^\circ$なので、$\angle ABD = 77^\circ - 41^\circ = 36^\circ$となる。

$\angle TAB = \angle BCA = \theta$なので、$\angle ABD = \theta = 36^\circ$となる。

3. 最終的な答え

$\theta = 36^\circ$