$\triangle ABC$ は $\angle B = 90^\circ$ の直角三角形であり、$D, E$ はそれぞれ辺 $AB, BC$ の中点である。$AE$ と $CD$ の交点を $F$ とする。$AB=4\text{cm}, BC=6\text{cm}$ のとき、四角形 $DBEF$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ は $\angle B = 90^\circ$ の直角三角形であり、$D, E$ はそれぞれ辺 $AB, BC$ の中点である。$AE$ と $CD$ の交点を $F$ とする。$AB=4\text{cm}, BC=6\text{cm}$ のとき、四角形 $DBEF$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、座標を設定して考える。$B(0,0), A(0,4), C(6,0)$ とする。すると、$D(0,2), E(3,0)$ となる。

直線 $AE$ の方程式は $y = -\frac{4}{3}x + 4$ である。

直線 $CD$ の方程式は $y = \frac{2}{6}x - 2 = \frac{1}{3}x - 2$ である。

交点 $F$ は、これらの方程式の連立方程式を解いて求める。

$-\frac{4}{3}x + 4 = \frac{1}{3}x - 2$

$6 = \frac{5}{3}x$

$x = \frac{18}{5}$

$y = \frac{1}{3} \cdot \frac{18}{5} - 2 = \frac{6}{5} - 2 = -\frac{4}{5}$

したがって、$F(\frac{18}{5}, -\frac{4}{5})$ である。

四角形 $DBEF$ の面積は、$\triangle DBE$ の面積と $\triangle BEF$ の面積の和である。

$\triangle DBE$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot DB \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$

$\triangle BEF$ の面積を求める。

$B(0,0), E(3,0), F(\frac{18}{5}, -\frac{4}{5})$

$\triangle BEF$ の面積は $\frac{1}{2} |3 \cdot (-\frac{4}{5}) - 0 \cdot \frac{18}{5}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{5} = \frac{6}{5}$

したがって、四角形 $DBEF$ の面積は $3 + \frac{6}{5} = \frac{15+6}{5} = \frac{21}{5} = 4.2$

3. 最終的な答え

四角形 $DBEF$ の面積は $\frac{21}{5} \text{cm}^2$ 、または $4.2 \text{cm}^2$ である。