## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

### (1) 問題の内容

座標空間内に3点 $A(3,0,1)$, $B(-1,2,2)$, $C(-1,-2,0)$ が与えられている。これらの点から等距離にある$xy$平面上の点$P$の座標を求めよ。

### (1) 解き方の手順

1. 点$P$は$xy$平面上にあるので、$P(x,y,0)$とおける。

2. $AP = BP = CP$となるような$x$と$y$の値を求める。ここで、$AP$, $BP$, $CP$はそれぞれ点$A$, $B$, $C$と点$P$との距離を表す。

距離の公式より、

$AP^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 + (0-1)^2 = (x-3)^2 + y^2 + 1$

$BP^2 = (x-(-1))^2 + (y-2)^2 + (0-2)^2 = (x+1)^2 + (y-2)^2 + 4$

$CP^2 = (x-(-1))^2 + (y-(-2))^2 + (0-0)^2 = (x+1)^2 + (y+2)^2$

$AP = BP$より、$AP^2 = BP^2$であるから、

$(x-3)^2 + y^2 + 1 = (x+1)^2 + (y-2)^2 + 4$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + 4$

$-6x + 10 = 2x - 4y + 9$

$8x - 4y = 1$

$BP = CP$より、$BP^2 = CP^2$であるから、

$(x+1)^2 + (y-2)^2 + 4 = (x+1)^2 + (y+2)^2$

$(y-2)^2 + 4 = (y+2)^2$

$y^2 - 4y + 4 + 4 = y^2 + 4y + 4$

$-4y + 8 = 4y + 4$

$8y = 4$

$y = \frac{1}{2}$

$8x - 4y = 1$に$y = \frac{1}{2}$を代入して、

$8x - 4(\frac{1}{2}) = 1$

$8x - 2 = 1$

$8x = 3$

$x = \frac{3}{8}$

よって、$P$の座標は$(\frac{3}{8}, \frac{1}{2}, 0)$である。

### (1) 最終的な答え

$(\frac{3}{8}, \frac{1}{2}, 0)$

### (2) 問題の内容

4点 $(2,0,0)$, $(0,1,1)$, $(1,1,0)$, $(a-4, a-1, a-2)$ が同一平面上にあるとき、$a$の値を求めよ。

### (2) 解き方の手順

1. 4点が同一平面上にある条件を用いる。4点$A, B, C, D$が同一平面上にあるとき、ベクトル$\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$が一次従属である。つまり、$\vec{AD} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$となる実数$s, t$が存在する。または、$(\vec{AB} \times \vec{AC})\cdot \vec{AD} = 0$となる。

$A(2,0,0), B(0,1,1), C(1,1,0), D(a-4, a-1, a-2)$とする。

$\vec{AB} = (0-2, 1-0, 1-0) = (-2, 1, 1)$

$\vec{AC} = (1-2, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$

$\vec{AD} = (a-4-2, a-1-0, a-2-0) = (a-6, a-1, a-2)$

$\vec{AD} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$より、

$(a-6, a-1, a-2) = s(-2, 1, 1) + t(-1, 1, 0)$

$a-6 = -2s - t$

$a-1 = s + t$

$a-2 = s$

$a-2 = s$を$a-1 = s+t$に代入すると、

$a-1 = (a-2) + t$

$t = 1$

$a-6 = -2s - t$に$s = a-2, t=1$を代入すると、

$a-6 = -2(a-2) - 1$

$a-6 = -2a + 4 - 1$

$3a = 9$

$a = 3$

### (2) 最終的な答え

$a = 3$

### (3) 問題の内容

座標空間内に2点 $A(1,2,1)$, $B(3,5,2)$ が与えられている。直線 $AB$ と平面 $y=8$ との交点の座標を求めよ。

### (3) 解き方の手順

1. 直線$AB$のパラメータ表示を求める。

2. 平面$y=8$との交点を求める。

直線$AB$のパラメータ表示は、

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{AB}$で表される。

$\vec{a} = (1,2,1)$

$\vec{AB} = (3-1, 5-2, 2-1) = (2,3,1)$

$\vec{p} = (1,2,1) + t(2,3,1) = (1+2t, 2+3t, 1+t)$

したがって、直線$AB$上の点の座標は$(1+2t, 2+3t, 1+t)$と表せる。

この点が平面$y=8$上にあるとき、$y$座標は8であるから、

$2+3t = 8$

$3t = 6$

$t = 2$

$t=2$を$(1+2t, 2+3t, 1+t)$に代入すると、

$(1+2(2), 2+3(2), 1+2) = (1+4, 2+6, 3) = (5, 8, 3)$

### (3) 最終的な答え

$(5, 8, 3)$