円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=4$, $CD=3$, $DA=2$である。 (1) 対角線$AC$の長さを求めよ。 (2) 四角形$ABCD$の面積$S$を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=4$, $CD=3$, $DA=2$である。

(1) 対角線$AC$の長さを求めよ。

(2) 四角形$ABCD$の面積$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 対角線$AC$の長さ

円に内接する四角形$ABCD$において、$\angle B = \theta$とおくと、$\angle D = 180^\circ - \theta$となる。

$\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 4 + 16 - 16 \cos \theta$

$AC^2 = 20 - 16 \cos \theta$ ...(1)

$\triangle ADC$において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cdot \cos (180^\circ - \theta)$

$AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos (180^\circ - \theta)$

$AC^2 = 4 + 9 - 12 (-\cos \theta)$

$AC^2 = 13 + 12 \cos \theta$ ...(2)

(1)と(2)より

$20 - 16 \cos \theta = 13 + 12 \cos \theta$

$7 = 28 \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

(2)に代入して

$AC^2 = 13 + 12 \cdot \frac{1}{4} = 13 + 3 = 16$

$AC = \sqrt{16} = 4$

(2) 四角形$ABCD$の面積$S$

$\cos \theta = \frac{1}{4}$なので、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

四角形$ABCD$の面積$S$は、$\triangle ABC$と$\triangle ADC$の面積の和である。

$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin \theta + \frac{1}{2} AD \cdot CD \cdot \sin (180^\circ - \theta)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$

$S = 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot 2 + 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$

$S = \sqrt{15} + \frac{3 \sqrt{15}}{4} = \frac{4 \sqrt{15} + 3 \sqrt{15}}{4} = \frac{7 \sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = 4$

(2) $S = \frac{7\sqrt{15}}{4}$