円 O があり、PT は T を接点とする円の接線です。A, B, C は円周上にあり、P, A, B は同一直線上にあります。C は PO 上にあります。PA = AB = 12, PC = 8 であるとき、以下の線分の長さを求めます。 (1) PT (2) OT

1. 問題の内容

円 O があり、PT は T を接点とする円の接線です。A, B, C は円周上にあり、P, A, B は同一直線上にあります。C は PO 上にあります。PA = AB = 12, PC = 8 であるとき、以下の線分の長さを求めます。

(1) PT

(2) OT

2. 解き方の手順

(1) PT の長さを求めます。

方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB$ が成り立ちます。

PA = 12, PB = PA + AB = 12 + 12 = 24 なので、

$PT^2 = 12 \cdot 24 = 288$

$PT = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$

(2) OT の長さを求めます。

円 O の半径を r とすると、OC = r - 8 です。また、PO = PA + AO = PA + AO = PA + r = 12+r。

PO = PC + CO なので、$12+r = 8 + r$, $12+r = 8 + r + 2CO$, $CO+8=12+r$

$12 + r = 8 + OC$ となり、$OC = 4 + r$ となります。これは明らかに誤り。

円の中心をOとする。OTは円の半径であり、PTは円の接線なので、∠OTP = 90°です。

三平方の定理より、$OT^2 + PT^2 = OP^2$

$OT = r$ とすると、$r^2 + (12\sqrt{2})^2 = (12+r)^2$

$r^2 + 288 = 144 + 24r + r^2$

$288 = 144 + 24r$

$144 = 24r$

$r = 6$

したがって、OT = 6

3. 最終的な答え

(1) $PT = 12\sqrt{2}$

(2) $OT = 6$