関数 $y = 2x + 10$ と直交する直線 $l$ がある。このとき、関数 $y = 2x + 10$ と直線 $l$ と $x$ 軸で囲まれた三角形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x + 10$ と直交する直線 $l$ がある。このとき、関数 $y = 2x + 10$ と直線 $l$ と $x$ 軸で囲まれた三角形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線 $y = 2x + 10$ と直交する直線 $l$ の傾きを求める。直線 $y = 2x + 10$ の傾きは $2$ であるから、直線 $l$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ となる。

次に、$y = 2x + 10$ と $x$ 軸の交点を求める。$y = 0$ を代入すると、

$0 = 2x + 10$

$2x = -10$

$x = -5$

したがって、$y = 2x + 10$ と $x$ 軸の交点は $(-5, 0)$ である。

直線 $l$ は $y = 2x + 10$ と直交し、その三角形を作るので、$(-5,0)$ を通ることにする。よって、直線 $l$ の式は $y = -\frac{1}{2} (x + 5)$となる。

$y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$

直線 $l$ と $x$ 軸の交点を求める。$y = 0$ を代入すると、

$0 = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$

$\frac{1}{2}x = -\frac{5}{2}$

$x = -5$

したがって、直線 $l$ と $x$ 軸の交点は $(-5, 0)$ である。

次に、$y = 2x + 10$ と 直線 $l$ の交点を求める。

$y = 2x + 10$

$y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$

よって、$2x + 10 = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$

$4x + 20 = -x - 5$

$5x = -25$

$x = -5$

したがって、交点は $(-5, 0)$ である。

これは計算が間違っている。$(-5,0)$を通るのではなく、$y$切片が10になるようにすると、直線$l$は$y = -\frac{1}{2}x + 10$となる。

すると、$y = 0$の時、$x = 20$となり、$x$軸との交点は$(20,0)$。

$y = 2x+10$と$y = -\frac{1}{2}x+10$の交点は、$2x+10 = -\frac{1}{2}x+10$より、$2x = -\frac{1}{2}x$、$x = 0$となり、$y = 10$。交点は$(0,10)$

三角形の底辺は$20-(-5) = 25$、高さは10なので、面積は$\frac{1}{2} \times 25 \times 10 = 125$

3. 最終的な答え

125