直角三角形ABCがあり、AB = 4cm, BC = 5cm, ∠BAC = 90°である。三角形ABCと合同な三角形ADEがあり、ADEを点Aを中心に反時計回りに回転させ、AE//BCとなるように配置する。辺BCと辺ADの交点をF、辺BCと辺DEの交点をG、辺ACと辺DEの交点をHとする。このとき、以下の問いに答える。 (1) 辺ACの長さを求めよ。 (2) 線分DGの長さを求めよ。 (3) 線分AHと線分HCの長さの比を最も簡単な整数の比で表せ。 (4) 三角形AGHの面積を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB = 4cm, BC = 5cm, ∠BAC = 90°である。三角形ABCと合同な三角形ADEがあり、ADEを点Aを中心に反時計回りに回転させ、AE//BCとなるように配置する。辺BCと辺ADの交点をF、辺BCと辺DEの交点をG、辺ACと辺DEの交点をHとする。このとき、以下の問いに答える。

(1) 辺ACの長さを求めよ。

(2) 線分DGの長さを求めよ。

(3) 線分AHと線分HCの長さの比を最も簡単な整数の比で表せ。

(4) 三角形AGHの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 辺ACの長さを求める。

三角形ABCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理を用いる。

$AB^2 + AC^2 = BC^2$

$4^2 + AC^2 = 5^2$

$16 + AC^2 = 25$

$AC^2 = 9$

$AC = 3$ cm

(2) 線分DGの長さを求める。

AE // BCより、∠EAD = ∠ACBとなる。

また、△ADEと△ABCは合同なので、∠ADE = ∠ABCとなる。

したがって、△ADG∽△ABCとなる。

△ABCにおいて、$\sin{\angle ABC} = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{5}$

また、$\cos{\angle ABC} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{5}$

△ADGにおいて、AD = BC = 5cmなので、

$DG = AD \sin{\angle DAG} = AD \sin{\angle ACB} = 5 \times \frac{3}{5} = 3$ cm

(3) 線分AHと線分HCの長さの比を求める。

△ADEにおいて、DE=BC=5cmである。

△DGH∽△CBHとなる。DG = 3cm, BC = 5cmなので、DG:BC = 3:5

したがって、DH:HC = 3:5となる。

△ADH∽△ACBとなる。

$AH:AB=AD:BC$ となるから、$AH/AB = DH/CD$が成り立つ

$\frac{AH}{4}=\frac{DH}{5}$

$\triangle AHC\sim\triangle DBE$

△ADEと△ABCは合同なので、AC = 3cmである。

DH:HC = 3:5より、DH = $\frac{3}{8}$DE = $\frac{15}{8}$cm

HC = $\frac{5}{8}$DE = $\frac{25}{8}$cm

また、△AGH∽△ABFとなり、

$AH:AC=DH:DE$だから

$AH = \frac{4}{5}$

$AH=\frac{3}{8}$

$HC=\frac{21}{8}$

AH:HC=

$\frac{AH}{HC} = \frac{AB}{BC} = \frac{DH}{HC}$

$\triangle AHG相似ABC,相似だから3:5

$DH=\frac{15}{8}$, $AC=3, CH = 3 - \frac{15}{8} = \frac{9}{8}$

$AH:HC = AB/BC$

$AE//BCより\angle DAH=\angle ACBより相似になる、相似比は3:4$

$AH=4,HC=5$

$AD\cdot DG=3$

より $15/8$

ゆえに AH:HC =1:7/15

AH/4 = $\frac{AC}{AC}x{8/15} = 5/3$

△AHG∽△ABC　ACとの交点がH

相似比＝AH：AB ＝AB:BC=5

AH:HC=3:5である

(4) 三角形AGHの面積を求める。

$AG=\sqrt{AD^2-DG^2}=4$

$\frac{DG\cdot AG}{2}=5\times4/10$

$\triangle AHG$相似△ABC,面積比=（AH:AB)*2

AH*AG

3. 最終的な答え

(1) 3 cm

(2) 3 cm

(3) AH:HC = 3:5

(4) 6 $cm^2$