(5)の問題は、与えられた三角形ABCの情報から、指定された要素を求める問題です。 (6)の問題は、与えられた三角形ABCの情報から、面積を求める問題です。 以下、問題ごとに分けて解答します。 (5) 1. b=4, A=45°, B=60°のとき、aを求める。

1. 問題の内容

(5)の問題は、与えられた三角形ABCの情報から、指定された要素を求める問題です。

(6)の問題は、与えられた三角形ABCの情報から、面積を求める問題です。

以下、問題ごとに分けて解答します。

(5)

1. b=4, A=45°, B=60°のとき、aを求める。

2. B=70°, C=50°, a=10のとき、外接円の半径Rを求める。

3. a=√2, b=5, C=135°のとき、cを求める。

4. a=2√6, b=4, A=60°のとき、cを求める。

5. a=1+√3, b=√6, c=2のとき、Bを求める。

(6)

1. a=6, b=5, C=30°のとき、面積を求める。

2. a=8, b=6, c=4のとき、面積を求める。

2. 解き方の手順

(5)

1. 正弦定理を用いる。$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ より、

$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{4 \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

2. 正弦定理を用いる。$\frac{a}{\sin A} = 2R$ より、$R = \frac{a}{2\sin A}$ 。A=180°-(B+C)=180°-(70°+50°)=60°なので、

$R = \frac{10}{2\sin 60^\circ} = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

3. 余弦定理を用いる。 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ より、

$c^2 = (\sqrt{2})^2 + 5^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos 135^\circ = 2 + 25 - 10\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 27 + 10 = 37$

よって、$c = \sqrt{37}$

4. 余弦定理を用いる。 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ より、

$(2\sqrt{6})^2 = 4^2 + c^2 - 2 \cdot 4 \cdot c \cdot \cos 60^\circ$

$24 = 16 + c^2 - 8c \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 - 4c - 8 = 0$

$c = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$

$c > 0$ より、$c = 2 + 2\sqrt{3}$

5. 余弦定理を用いる。 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$ より、

$(\sqrt{6})^2 = (1+\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot (1+\sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \cos B$

$6 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 + 4 - 4(1+\sqrt{3})\cos B$

$-2 = 2\sqrt{3} - 4(1+\sqrt{3})\cos B$

$4(1+\sqrt{3})\cos B = 2\sqrt{3} + 2$

$\cos B = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{4(1+\sqrt{3})} = \frac{1}{2}$

よって、$B = 60^\circ$

(6)

1. 面積の公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ を用いる。

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{1}{2} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$

2. ヘロンの公式を用いる。$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+6+4}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9(9-8)(9-6)(9-4)} = \sqrt{9 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(5)

1. $a = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

2. $R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

3. $c = \sqrt{37}$

4. $c = 2 + 2\sqrt{3}$

5. $B = 60^\circ$

(6)

1. $S = \frac{15}{2}$

2. $S = 3\sqrt{15}$