$\cos A = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ の値を求めます。ただし、$A$は鋭角です。

1. 問題の内容

$\cos A = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ の値を求めます。ただし、$A$は鋭角です。

2. 解き方の手順

まず、三角比の基本公式 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を利用して、$\sin A$ の値を求めます。

$\cos A = \frac{1}{4}$ を代入すると、

$\sin^2 A + (\frac{1}{4})^2 = 1$

$\sin^2 A + \frac{1}{16} = 1$

$\sin^2 A = 1 - \frac{1}{16}$

$\sin^2 A = \frac{15}{16}$

$A$は鋭角なので、$\sin A > 0$。したがって、

$\sin A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ を利用して、$\tan A$ の値を求めます。

$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$ と $\cos A = \frac{1}{4}$ を代入すると、

$\tan A = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \times \frac{4}{1} = \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan A = \sqrt{15}$