(1) $\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 15^\circ \tan 75^\circ$ の値を求める。 (2) $90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ かつ $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 (3) 2直線 $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ と $y = x$ のなす鋭角を求める。 (4) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、次の不等式を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。 (1) $\sin \theta \le \frac{1}{2}$ (2) $0 < \tan \theta \le 1$ (3) $1 \le -2\cos \theta < \sqrt{3}$

1. 問題の内容

(1) $\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 15^\circ \tan 75^\circ$ の値を求める。

(2) $90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ かつ $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

(3) 2直線 $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ と $y = x$ のなす鋭角を求める。

(4) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、次の不等式を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。

(1) $\sin \theta \le \frac{1}{2}$

(2) $0 < \tan \theta \le 1$

(3) $1 \le -2\cos \theta < \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\tan 35^\circ = \tan (90^\circ - 55^\circ) = \frac{1}{\tan 55^\circ}$ および $\tan 15^\circ = \tan (90^\circ - 75^\circ) = \frac{1}{\tan 75^\circ}$ を利用する。

$\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 15^\circ \tan 75^\circ = \frac{1}{\tan 55^\circ} \tan 55^\circ - \frac{1}{\tan 75^\circ} \tan 75^\circ = 1 - 1 = 0$

(2) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より $\cos \theta \le 0$ だから $\cos \theta = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1/3}{-2\sqrt{2}/3} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

(3) $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ は $\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ より $\alpha = 150^\circ$ (または $-30^\circ$) の方向の直線。

$y = x$ は $\tan \beta = 1$ より $\beta = 45^\circ$ の方向の直線。

求める角度は $150^\circ - 45^\circ = 105^\circ$ または $45^\circ - (-30^\circ) = 75^\circ$。

鋭角なので $75^\circ$ が答え。

(4) (1) $\sin \theta \le \frac{1}{2}$。$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より $0^\circ \le \theta \le 30^\circ$ または $150^\circ \le \theta \le 180^\circ$.

(2) $0 < \tan \theta \le 1$。$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より $0^\circ < \theta \le 45^\circ$.

(3) $1 \le -2\cos \theta < \sqrt{3}$。$-\sqrt{3} < 2\cos \theta \le -1$。$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \cos \theta \le -\frac{1}{2}$。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より $120^\circ \le \theta < 150^\circ$.

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

(3) $75^\circ$

(4) (1) $0^\circ \le \theta \le 30^\circ$ または $150^\circ \le \theta \le 180^\circ$

(2) $0^\circ < \theta \le 45^\circ$

(3) $120^\circ \le \theta < 150^\circ$