正四面体の一つの面を下にして置き、一つの辺を軸として３回転がす。ただし、回転のたびに直前にあった場所を通らないようにするとき、 (1) 転がし方の総数 (2) ３回転がした後の正四面体の位置 を求めよ。

1. 問題の内容

正四面体の一つの面を下にして置き、一つの辺を軸として３回転がす。ただし、回転のたびに直前にあった場所を通らないようにするとき、

(1) 転がし方の総数

(2) ３回転がした後の正四面体の位置

を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 回転させる辺の選び方について考える。

最初の回転では、底面にある3つの辺のいずれかを軸として回転させることができるので、3通りの選び方がある。

2回目の回転では、直前にあった場所を通らないようにするため、直前に回転させた辺と接する2つの辺を除く必要がある。したがって、残りの1つの辺を選ぶ必要がある。

3回目の回転でも、直前にあった場所を通らないようにするため、直前に回転させた辺と接する2つの辺を除く必要がある。したがって、残りの1つの辺を選ぶ必要がある。

したがって、転がし方の総数は $3 \times 1 \times 1 = 3$ 通りとなる。

(2) ３回転がした後の正四面体の位置について考える。

最初の回転で、底面を支えていた３つの面のどれかが、３回転後に底面を支えることになる。回転のたびに直前にあった場所を通らないという制約があるため、最初の回転で選んだ辺に対して、特定の面が底面にくるように決まる。

具体的には、最初の回転で軸とした辺に接する２つの面のうち、回転によって隠れる面が、３回目の回転の後に底面となる。

したがって、３回転がした後の正四面体の位置は、最初の回転の選び方によって3通り存在する。

3. 最終的な答え

(1) 転がし方の総数: 3通り

(2) ３回転がした後の正四面体の位置: 3通り